Das Volumen einer Kugel ändert sich mit einer konstanten Rate von # pi / 3 cm ^ 3s ^ -1 #. Wie stark verändert sich die Oberfläche, wenn das Volumen # (9pi) / 2 # ist?

Lassen Sie uns die folgenden Variablen einrichten:

# {(r, "Radius of sphere at time t","(cm)"), (A, "Surface area of sphere at time t", "(cm"^2")"), (V, "Volume of sphere at time t", "(cm"^3")"), (t, "time", "(sec)") :} #

Unser Ziel ist es zu finden #(dA)/dt# wann #V=(9pi)/2# und #(dV)/dt=pi/3#.

Die Standardformel für Fläche & Volumen einer Kugel lautet:

# V=4/3pir^3 .... [1] #
#A=4pir^2 .... [2] #

Wann # V=(9pi)/2 => 4/3pir^3 =(9pi)/2 #

# :. r^3 =9/2*3/4 #
# :. r =3/2 #

Differenzieren von [1] und [2] bezüglich #r# wir bekommen;

# (dV)/(dr)=4pir^2 # and # (dA)/(dr) = 8pir #

Und aus dem Kettenregel wir bekommen:

# (dA)/dt =(dA)/(dr) * (dr)/(dV)* (dV)/(dt) #
# =8pir * 1/(4pir^2) * (dV)/(dt) #
# =2/r * (dV)/(dt) #

Also, wenn #V=(9pi)/2#, #(dV)/dt=pi/3# und #r =3/2#, Dann gilt:

# (dA)/dt =2/(3/2) * pi/3 #
# =(4pi)/9 #