Wie findet man das Volumen V des beschriebenen Festkörpers S, bei dem die Basis von S eine Kreisscheibe mit Radius 4r ist und parallele Querschnitte senkrecht zur Basis Quadrate sind?

Platzieren Sie die kreisförmige Basis auf der xy-Ebene, zentriert am Ursprung.

At #z = 0#;

• #x^2 + y^2 = 16r^2#

Unter Berücksichtigung des Teils des Volumenkörpers im 1st-Oktanten mit den quadratischen Querschnitten, die parallel zur xz-Achse verlaufen, beträgt das Volumen eines Elementquerschnitts:

#dV = x * 2x dy = 2 (16r^2 - y^2) dy#

So:

#V =2 int_0^(4r) dy qquad (16r^2 - y^2) #

#= 2 [ 16r^2 y - y^3/3 ]_0^(4r) = 256/3 r^3 #

Das Volumen in 1st Octant ist nur #1/4# des Gesamtvolumens.

So #V_("Tot") = 1024/3 r^3 qquad [ = 341 1/3 r^3]#

Reality-Check.

• Volumen der Würfelseite #8r# is #V_C = 512 r^3#

• Volumen des Kugelradius #4r# is #V_S = (256 pi R^3)/3 = 268.083 R^3 #

• #V_S < V_("Tot") < V_C#