Wie findet man das Volumen V des beschriebenen Festkörpers S, bei dem die Basis von S eine Kreisscheibe mit Radius 4r ist und parallele Querschnitte senkrecht zur Basis Quadrate sind?

Antworten:

$V = \frac{1024}{3} r^{3}$ $V = 1024/3 r^3$

Erläuterung:

Platzieren Sie die kreisförmige Basis auf der xy-Ebene, zentriert am Ursprung.

At $z = 0$ $z = 0$ ;

$x^{2} + y^{2} = 16 r^{2}$ $x^2 + y^2 = 16r^2$

Unter Berücksichtigung des Teils des Volumenkörpers im 1st-Oktanten mit den quadratischen Querschnitten, die parallel zur xz-Achse verlaufen, beträgt das Volumen eines Elementquerschnitts:

$d V = x \cdot 2 x d y = 2 (16 r^{2} - y^{2}) d y$ $dV = x * 2x dy = 2 (16r^2 - y^2) dy$

So:

$V =2 int_0^(4r) dy qquad (16r^2 - y^2)$

$= 2 [ 16r^2 y - y^3/3 ]_0^(4r) = 256/3 r^3$

Das Volumen in 1st Octant ist nur $1/4$ des Gesamtvolumens.

So $V_("Tot") = 1024/3 r^3 qquad [ = 341 1/3 r^3]$

Reality-Check.

Volumen der Würfelseite $8r$ is $V_C = 512 r^3$
Volumen des Kugelradius $4r$ is $V_S = (256 pi R^3)/3 = 268.083 R^3$
$V_S < V_("Tot") < V_C$