Wie lautet das Muster in der Sequenz 1 2 4 3 6 8 7 14 16?

Antworten:

Double, Addiere 2, Subtrahiere 1, Wiederhole.

Erläuterung:

Keine sehr mathematisch signifikante Folge, aber können Sie sie algebraisch mit einer einzigen Formel ausdrücken?

Geht davon $ω = - \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$ $omega = -1/2+i sqrt(3)/2$

Dies hat die Eigenschaft, dass $ω^{3} = 1$ $omega^3 = 1$

Dann können wir schreiben:

$a_{0} = 1$ $a_0 = 1$

$a_{i + 1} = \frac{(ω^{i} - ω) (ω^{i} - ω^{2})}{(1 - ω) (1 - ω^{2})} 2 a_{i} + \frac{(ω^{i} - ω^{2}) (ω^{i} - 1)}{(ω - ω^{2}) (ω - 1)} (a_{i} + 2) + \frac{(ω^{i} - 1) (ω^{i} - ω)}{(ω^{2} - 1) (ω^{2} - ω)} (a_{i} - 1)$ $a_(i+1) = ((omega^i - omega)(omega^i - omega^2))/((1-omega)(1-omega^2))2a_i+((omega^i-omega^2)(omega^i-1))/((omega-omega^2)(omega-1))(a_i+2)+((omega^i-1)(omega^i-omega))/((omega^2-1)(omega^2-omega))(a_i-1)$

Dies kann vereinfacht werden, aber es ist hilfreich, es in dieser Formulierung zu haben, damit Sie verstehen, wie es funktioniert.

Wann $i = 0$ $i = 0$ Form $3$ $3$ , Dann gilt:

$\frac{(ω^{i} - ω) (ω^{i} - ω^{2})}{(1 - ω) (1 - ω^{2})} = \frac{(1 - ω) (1 - ω^{2})}{(1 - ω) (1 - ω^{2})} = 1$ $((omega^i - omega)(omega^i - omega^2))/((1-omega)(1-omega^2)) = ((1 - omega)(1 - omega^2))/((1-omega)(1-omega^2)) = 1$

$\frac{(ω^{i} - ω^{2}) (ω^{i} - 1)}{(ω - ω^{2}) (ω - 1)} = \frac{(1 - ω^{2}) (1 - 1)}{(1 - ω^{2}) (ω - 1)} = 0$ $((omega^i-omega^2)(omega^i-1))/((omega-omega^2)(omega-1)) = ((1-omega^2)(1-1))/((1-omega^2)(omega-1)) = 0$

$\frac{(ω^{i} - 1) (ω^{i} - ω)}{(ω^{2} - 1) (ω^{2} - ω)} = \frac{(1 - 1) (1 - ω)}{(ω^{2} - 1) (ω^{2} - ω)} = 0$ $((omega^i-1)(omega^i-omega))/((omega^2-1)(omega^2-omega)) = ((1-1)(1-omega))/((omega^2-1)(omega^2-omega)) =0$

Wann $i = 1$ $i = 1$ Form $3$ $3$ , dann werden diese Koeffizientenausdrücke als ausgewertet $0$ $0$ , $1$ $1$ und $0$ $0$ .

Wann $i = 2$ $i=2$ Form $3$ $3$ , dann werden diese Koeffizientenausdrücke als ausgewertet $0$ $0$ , $0$ $0$ und $1$ $1$ .

Wir verwenden diese also, um jede der drei Regeln zyklisch auszuwählen.