Wenn ein zylindrischer Tank mit einem Radius von 5 Metern mit einer Geschwindigkeit von 3 Kubikmetern pro Minute mit Wasser gefüllt wird, wie schnell nimmt die Höhe des Wassers zu?

Die Antwort ist #(dh)/(dt)=3/(25 pi)m/(min)#.

Bei verwandten Raten benötigen wir eine Funktion, um die 2-Variablen in Beziehung zu setzen. In diesem Fall ist dies eindeutig Volumen und Höhe. Die Formel lautet:
#V=pi r^2 h#

Die Formel enthält einen Radius, bei diesem Problem ist der Radius jedoch konstant, sodass es sich nicht um eine Variable handelt. Wir können den Wert in ersetzen:
#V=pi (5m)^2 h#

Da die Rate in diesem Problem zeitabhängig ist, müssen wir implizit bezüglich der Zeit differenzieren:
#(dV)/(dt)=(25 m^2) pi (dh)/(dt)#

In dem Problem sind wir gegeben #3(m^3)/min# welches ist #(dV)/(dt)#. Also ersetzen wir dies in:
#(dh)/(dt)=(3m^3)/(min (25m^2) pi)=3/(25 pi)m/(min)#

Im Allgemeinen
- Finde eine Formel, um die 2-Variablen in Beziehung zu setzen
- Ersetzen Sie Werte, um die konstanten Variablen zu entfernen
- implizit nach Zeit differenzieren (meistens)
- Ersetzen Sie die angegebene Rate
- und für die gewünschte Rate lösen.