Wie verwendet man ein Integral, um das Volumen eines festen Torus zu bestimmen?

Wenn der Radius seines kreisförmigen Querschnitts ist #r#und der Radius des Kreises, der durch die Mitte der Querschnitte gezogen wird, ist #R#, dann ist das Volumen des Torus #V=2pi^2r^2R#.

Angenommen, der Torus wird durch Drehen des kreisförmigen Bereichs erhalten #x^2+(y-R)^2=r^2# über die #x#-Achse. Beachten Sie, dass dieser kreisförmige Bereich der Bereich zwischen den Kurven ist: #y=sqrt{r^2-x^2}+R# und #y=-sqrt{r^2-x^2}+R#.

Mit der Waschmethode kann das Volumen des Rotationskörpers wie folgt ausgedrückt werden:
#V=pi int_{-r}^r[(sqrt{r^2-x^2}+R)^2-(-sqrt{r^2-x^2}+R)^2]dx#,
was vereinfacht:
#V=4piRint_{-r}^r sqrt{r^2-x^2}dx#
Da das obige Integral der Fläche eines Halbkreises mit dem Radius r entspricht, haben wir
#V=4piRcdot1/2pi r^2=2pi^2r^2R#