Was sind einige Beispiele für nicht differenzierbare Funktionen?
Es gibt drei Möglichkeiten, wie eine Funktion nicht differenzierbar sein kann. Wir werden uns alle 3-Fälle ansehen.
Fall 1
Eine Funktion, die nicht differenzierbar ist, wenn sie diskontinuierlich ist.
Beispiel (1a) f#(x)=cotx# ist bei nicht differenzierbar #x=n pi# für alle ganzen Zahlen #n#.
graph {y = cotx [-10, 10, -5, 5]}
Beispiel (1b) #f(x)= (x^3-6x^2+9x)/(x^3-2x^2-3x) # ist bei nicht differenzierbar #0# und #3# und #-1#
Beachten Sie, dass #f(x)=(x(x-3)^2)/(x(x-3)(x+1))#
Leider zeigt das Grafikprogramm die Löcher bei nicht an #(0, -3)# und #(3,0)#
graph{(x^3-6x^2+9x)/(x^3-2x^2-3x) [-10, 10, -5, 5]}
Beispiel 1c) Definieren #f(x)# sein #0# if #x# ist eine rationale Zahl und #1# if #x# ist irrational. Die Funktion ist überhaupt nicht differenzierbar #x#.
Beispiel 1d) Beschreibung: Stückweise definierte Funktionen können Diskontinuitäten aufweisen.
Fall 2
Eine Funktion ist nicht unterscheidbar, wenn sie eine "Spitze" oder einen "Eckpunkt" hat.
Dies geschieht um #a# if #f'(x)# ist für alle definiert #x# in der Nähe von #a# (alle #x# in einem offenen Intervall mit #a#) außer um #a#, Aber #lim_(xrarra^-)f'(x) != lim_(xrarra^+)f'(x)#. (Entweder weil sie existieren, aber ungleich sind oder weil eine oder beide nicht existieren.)
Beispiel 2a) #f(x)=abs(x-2)# Ist bei nicht differenzierbar #2#.
(Diese Funktion kann auch geschrieben werden: #f(x)=sqrt(x^2-4x+4))#
graph {abs (x-2) [-3.86, 10.184, -3.45, 3.57]}
Beispiel 2b) #f(x)=x+root(3)(x^2-2x+1)# Ist bei nicht differenzierbar #1#.
Grafik {x + Wurzel (3) (x ^ 2-2x + 1) [-3.86, 10.184, -3.45, 3.57]}
Fall 3
Eine Funktion ist bei nicht differenzierbar #a# wenn es eine vertikale Tangentenlinie bei hat #a#.
#f# hat eine vertikale Tangentenlinie bei #a# if #f# ist kontinuierlich bei #a# und
#lim_(xrarra)abs(f'(x))=oo#
Beispiel 3a) #f(x)= 2+root(3)(x-3)# hat vertikale Tangentenlinie bei #1#. Und deshalb ist bei nicht differenzierbar #1#.
Grafik {2 + (x-1) ^ (1 / 3) [-2.44, 4.487, -0.353, 3.11]}
Beispiel 3b) Für einige Funktionen betrachten wir nur einseitige Grenzen: #f(x)=sqrt(4-x^2)# hat eine vertikale Tangentenlinie bei #-2# und #2#.
#lim_(xrarr2)abs(f'(x))# Existiert nicht, aber
#lim_(xrarr2^-)abs(f'(x))=oo#
graph {sqrt (4-x ^ 2) [-3.58, 4.213, -1.303, 2.592]}
Beispiel 3c) #f(x)=root(3)(x^2)# hat eine Spitze und eine vertikale Tangentenlinie bei #0#.
Graph {x ^ (2 / 3) [-8.18, 7.616, -2.776, 5.126]}
Hier ist ein Link, den Sie vielleicht hilfreich finden:
http://socratic.org/calculus/derivatives/differentiable-vs-non-differentiable-functions