Wie bestimmen Sie, ob ein Vektor orthogonal, parallel oder keiner ist?

Natürlich können Sie überprüfen, ob ein Vektor orthogonal, parallel oder weder in Bezug auf einen anderen Vektor ist. Nehmen wir also an, unsere Vektoren haben #n# Koordinaten.

Das Konzept der Parallelität ist äquivalent zu dem eines Vielfachen, so dass zwei Vektoren parallel sind, wenn Sie einen durch Multiplikation mit einer Zahl voneinander erhalten können: #v=(3,2,-5)# ist parallel zu #w=(30,20,-50)# und #z=(-3,-2,5)#Da #w=10*v#, und #z=(-1)*v#.

Um zu überprüfen, ob zwei Vektoren orthogonal sind, können Sie stattdessen das Skalarprodukt verwenden. Wenn Sie zwei Vektoren haben
#a=(a_1,...,a_n)# und #b=(b_1,...,b_n)#, das Skalarprodukt #a*b# ist definiert (für numerische Vektoren) als

#a*b = a_1b_1 + a_2b_2+...+a_nb_n = sum_{i=1}^n a_ib_i#

Das Skalarprodukt wird häufig verwendet, um das Konzept der Orthogonalität selbst zu definieren, wenn mit nicht numerischen Vektoren gearbeitet wird, die Sie nicht richtig darstellen können, und zwei Vektoren werden als orthogonal bezeichnet, wenn ihr Skalarprodukt Null ist. Wenn Sie zum Beispiel den vektoriellen Raum der stetigen Funktion betrachten, wie können Sie "sehen", ob zwei Funktionen orthogonal sind? Sie definieren ein geeignetes Skalarprodukt für diesen Bereich und wenn #f*g=0#, dann #f# und #g# sind orthogonal.

Numerische Beispiele für orthogonale Vektoren können sein

#a=(3,2,1)#, #b=(1,1,-6)#, Da

#a*b = 3*1+2*1+1*(-6)=6-6=0#.

oder zum Beispiel eine einfache Überprüfung, dass die #x# und #y#-Achsen sind (natürlich) orthogonal! ist

#x=(1,0)#, #y=(0,1)#, und

#x*y = 1*0+0*1=0+0=0#.