Wie verwendet man die Differenzierung, um eine Potenzreihendarstellung für #f (x) = 1 / (1 + x) ^ 2 # zu finden?

Beachten Sie zunächst, dass #frac{1}{(1+x)^2}=(1+x)^(-2)=frac{d}{dx}(-(1+x)^{-1})=frac{d}{dx}(-frac{1}{1-(-x)})#.

Verwenden Sie nun die Power Series-Erweiterung #frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}+cdots#konvergiert für #|x|<1#Alles multiplizieren mit #-1#und ersetzen Sie alle "#x#ist "mit"#-x#ist zu bekommen

#-frac{1}{1-(-x)}=-1+x-x^2+x^3-x^4+cdots#konvergiert für #|-x|<1 Leftrightarrow |x|<1#.

Zuletzt differenzieren Sie diesen Begriff nach dem Begriff (der im Inneren des Konvergenzintervalls gerechtfertigt ist), um zu erhalten

#frac{1}{(1+x)^{2}}=frac{d}{dx}(-1+x-x^2+x^3-x^4+cdots)#

#=1-2x+3x^{2}-4x^{3}+cdots#.

Dies konvergiert auch für #|x|<1#.