Wie viele Tangenten zur Kurve #y = x / (x + 1) # verlaufen durch den Punkt (1,2)?

Gegeben: #y = x/(x+1)#

Die Punkt-Steigungsform der Gleichung einer Linie sagt uns, dass die Form der Tangenten sein muss:

#y = m(x-1)+2" [1]"#

Damit die Linien tangential zur Kurve verlaufen, müssen wir die erste Ableitung der Kurve ersetzen #m#:

#dy/dx = ((d(x))/dx(x+1)-x(d(x+1))/dx)/(x+1)^2#

#dy/dx = (x+1-x)/(x+1)^2#

#dy/dx = 1/(x+1)^2#

#m = 1/(x+1)^2" [2]"#

Ersetzen Sie Gleichung [2] durch Gleichung [1]:

#y = (x-1)/(x+1)^2+2" [1.1]"#

Da die Linie die Kurve berühren muss, können wir ersetzen #y = x/(x+1)#:

#x/(x+1) = (x-1)/(x+1)^2+2#

Löse nach x:

#x(x+1) = (x-1)+2(x+1)^2#

#x^2+x = x -1 +2x^2+4x+2#

#x^2+4x+1#

#x = (-4+-sqrt(4^2-4(1)(1)))/(2(1))#

#x = -2+-sqrt(3)#

#x = -2+sqrt(3)# und #x = -2-sqrt(3)#

Es gibt 2-Tangentenlinien.

#y = 1/(-1+sqrt3)^2(x-1)+2#

und

#y = 1/(-1-sqrt3)^2(x-1)+2#