Wie viele Tangenten zur Kurve y = x / (x + 1) verlaufen durch den Punkt (1,2)?
Antworten:
Es gibt 2-Tangentenlinien, die durch den Punkt verlaufen (1,2).
y = 1/(-1+sqrt3)^2(x-1)+2
und
y = 1/(-1-sqrt3)^2(x-1)+2
Erläuterung:
Gegeben: y = x/(x+1)
Die Punkt-Steigungsform der Gleichung einer Linie sagt uns, dass die Form der Tangenten sein muss:
y = m(x-1)+2" [1]"
Damit die Linien tangential zur Kurve verlaufen, müssen wir die erste Ableitung der Kurve ersetzen m:
dy/dx = ((d(x))/dx(x+1)-x(d(x+1))/dx)/(x+1)^2
dy/dx = (x+1-x)/(x+1)^2
dy/dx = 1/(x+1)^2
m = 1/(x+1)^2" [2]"
Ersetzen Sie Gleichung [2] durch Gleichung [1]:
y = (x-1)/(x+1)^2+2" [1.1]"
Da die Linie die Kurve berühren muss, können wir ersetzen y = x/(x+1):
x/(x+1) = (x-1)/(x+1)^2+2
Löse nach x:
x(x+1) = (x-1)+2(x+1)^2
x^2+x = x -1 +2x^2+4x+2
x^2+4x+1
x = (-4+-sqrt(4^2-4(1)(1)))/(2(1))
x = -2+-sqrt(3)
x = -2+sqrt(3) und x = -2-sqrt(3)
Es gibt 2-Tangentenlinien.
y = 1/(-1+sqrt3)^2(x-1)+2
und
y = 1/(-1-sqrt3)^2(x-1)+2