Wie verwendet man die Doppelwinkel- oder Halbwinkelformeln, um cos (4x) in Bezug auf cos x abzuleiten?

Wissend, dass
#cos(2u) = cos^2(u) - sin^2(u) = 1 - 2sin^2(u)#
#sin(2u) = 2sin(u)cos(u)#

Damit,

#cos(4x) = 1 - 2sin^2(2x)#
#1 - 2sin^2(2x) = 1 - 2*(2sin(x)cos(x))^2#

So #cos(4x) = 1 - 4sin^2(x)cos^2(x)#

Wir wissen, dass die Konstante für Derivate irrelevant ist, also können wir das für die Funktion sagen #y = f(x)#, Haben wir

#y = -4sin^2(x)cos^2(x)#

Dann können Sie nach Belieben differenzieren, indem Sie Logarithmen verwenden (nachdem Sie diese minus vier aus dem Weg geräumt und daran gedacht haben, sie später noch einmal anzuheften)

#ln(y) = 2ln(sin(x)) + 2ln(cos(x))#
#y^'/y = 2cos(x)/sin(x) + 2(-sin(x))/cos(x) #
#y^' = 4sin(x)cos^3(x) -4sin^3(x)cos(x)#

Denken Sie daran, die -4 wieder einzulegen

#y^' = -16sin(x)cos^3(x) +16sin^3(x)cos(x)#