Wie verwendet man die Definition von Kontinuität und die Eigenschaften von Grenzen, um zu zeigen, dass die Funktion #h (t) = (2t-3t ^ 2) / (1 + t ^ 3) # bei der angegebenen Zahl a = 1 stetig ist?

Eine Funktion #f# ist fortlaufend an der Zahl #a# dann und nur dann, wenn #lim_(xrarra)f(x) = f(a)#.

(Um gleich zu sein, müssen beide existieren.)

In diesem Problem müssen wir zeigen, dass z #h(t) = (2t-3t^2)/(1+t^3)# erhalten wir #lim_(trarr1)h(t) = h(1)#

Die Werkzeuge, mit denen wir arbeiten müssen, sind die Eigenschaften von Grenzen. (Diese sind ziemlich normal, aber wenn sich deine wenig unterscheiden, hoffe ich, dass du trotzdem auf die Idee kommst.

#lim_(trarr1)h(t) = lim_(trarr1)(2t-3t^2)/(1+t^3)#

# =(lim_(trarr1)(2t-3t^2))/(lim_(trarr1)(1+t^3))#

wenn beide Grenzen existieren und die Grenze im Nenner nicht ist #0# durch die Quotienteneigenschaft der Grenzen

# =(lim_(trarr1)(2t)-lim_(trarr1)(3t^2))/(lim_(trarr1)(1)+lim_(trarr1)(t^3))#

wenn alle Grenzen existieren und der Nenner nicht #0# durch die Summe und Differenz Eigenschaften von Grenzen

# =(2lim_(trarr1)(t)-3lim_(trarr1)(t^2))/(lim_(trarr1)(1)+lim_(trarr1)(t^3))#

wenn alle Grenzen existieren und der Nenner nicht #0# durch die konstante multiple Eigenschaft von Grenzen

# =(2lim_(trarr1)(t)-3(lim_(trarr1)(t))^2)/(lim_(trarr1)(1)+(lim_(trarr1)(t))^3)#

wenn alle Grenzen existieren und der Nenner nicht #0# durch die Krafteigenschaft der Grenzen

# = (2(1)-3(1)^2)/((1)+(1)^3)#

Durch Auswertung der Grenze einer Konstanten und der Grenze der Identitätsfunktion. Beachten Sie, dass die Grenzwerte vorhanden sind und der Nenner nicht #0#. So

#lim_(trarr1)h(t) = (2(1)-3(1)^2)/((1)+(1)^3) = h(1)#

Hinweis zu dieser Art von Frage
Ich denke, dass der Punkt dieser Art von Frage den Schülern nicht klar ist, es sei denn, wir (Lehrer) erklären es ihnen.

Viele von uns (Lehrern) stellen diese Art von Fragen nur ein paar Mal, um den Schülern zu helfen, die Eigenschaften in der Liste der Eigenschaften von Grenzwerten mit den Methoden zu verknüpfen, mit denen wir tatsächlich Grenzwerte bewerten.

Die gute Nachricht für die Studenten ist, dass wir diese Detailgenauigkeit in der Regel nur ein paar Mal abfragen.

Der Punkt dieser Art von Frage ist es, den Schülern zu zeigen, warum wir diese Grenze bewerten können, indem wir einfach die Funktion bewerten.