Wie verwenden Sie die grundlegenden trigonometrischen Identitäten, um die vereinfachte Form des Ausdrucks zu bestimmen?

"Die grundlegenden trigonometrischen Identitäten" sind die grundlegenden Identitäten:

• Die gegenseitigen Identitäten
• Die pythagoreischen Identitäten
• Die Quotientenidentitäten

Sie sind alle in der folgenden Abbildung dargestellt:

Wenn es darum geht, mit diesen Identitäten zu vereinfachen, müssen wir Kombinationen dieser Identitäten verwenden, um einen viel komplexeren Ausdruck auf seine einfachste Form zu reduzieren.

Hier sind einige Beispiele, die ich vorbereitet habe:

a) Vereinfachen Sie: $tanx/cscx xx secx$

Wenden Sie die Quotientenidentität an $tantheta = sintheta/costheta$ und die gegenseitigen Identitäten $csctheta = 1/sintheta$ und $sectheta = 1/costheta$ .

$=(sinx/cosx)/(1/sinx) xx 1/cosx$

$=sinx/cosx xx sinx/1 xx 1/cosx$

$=sin^2x/cos^2x$

Erneutes Anwenden der Quotientenidentität in umgekehrter Form:

$=tan^2x$

b) Vereinfachen Sie: $(cscbeta - sin beta)/cscbeta$

Übernehmen Sie die gegenseitige Identität $cscbeta = 1/sinbeta$ :

$=(1/sinbeta - sin beta)/(1/sinbeta)$

Setzen Sie den Nenner auf einen gemeinsamen Nenner:

$=(1/sinbeta - sin^2beta/sinbeta)/(1/sinbeta)$

Ordnen Sie die pythagoreische Identität neu an $cos^2theta + sin^2theta = 1$ lösen für $cos^2theta$ :

$cos^2theta = 1 - sin^2theta$

$=(cos^2beta/sinbeta)/(1/sinbeta)$

$=cos^2beta/sinbeta xx sin beta/1$

$=cos^2beta$

c) Vereinfachen Sie: $sinx/cosx + cosx/(1 + sinx)$ :

Setzen Sie noch einmal einen gemeinsamen Nenner auf:

$=(sinx(1 + sinx))/(cosx(1 + sinx)) + (cosx(cosx))/(cosx(1 + sinx))$

Multiplizieren Sie aus:

$=(sinx + sin^2x + cos^2x)/(cosx(1 + sinx))$

Anwenden der pythagoreischen Identität $cos^2x + sin^2x = 1$ :

$=(sinx + 1)/(cosx(1 + sinx))$

Abbrechen der $sinx + 1$ da es sowohl im Zähler als auch im Nenner erscheint.

$=cancel(sinx + 1)/(cosx(cancel(sinx + 1))$

$=1/cosx$

Anwenden der gegenseitigen Identität $1/costheta = sectheta$

$=secx$

Zum Schluss weiß ich, dass hier in Kanada, genauer gesagt in British Columbia, diese Identitäten auf einem Formelblatt angegeben sind, aber ich weiß nicht, wie es anderswo ist. Auf jeden Fall merken sich viele Studenten, ich eingeschlossen, diese Identitäten, weil sie für die Mathematik so wichtig sind. Ich kann das Auswendiglernen nur empfehlen.

Übungsaufgaben:

Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke:

a) $cosalpha + tan alphasinalpha$

b) $cscx/sinx - cotx/tanx$

c) $sin^4theta - cos^4theta$

d) $(tan beta + cot beta)/csc^2beta$

Hoffentlich hilft das und viel Glück!