Wie verwende ich den Satz von DeMoivre, um # z ^ 3-1 = 0 # zu lösen?

If #z^3-1=0#, dann suchen wir nach den kubischen Wurzeln der Einheit, also nach solchen Zahlen #z^3=1#.

Wenn Sie komplexe Zahlen verwenden, gilt jede Polynomgradgleichung #k# genau ergibt #k# Lösung. Wir erwarten also drei Kubikwurzeln.

Der Satz von De Moivre verwendet die Tatsache, dass wir jede komplexe Zahl als schreiben können #rho e^{i theta}= rho (cos(theta)+isin(theta))#und es besagt, dass, wenn
#z=rho (cos(theta)+isin(theta))#, dann
#z^n = rho^n (cos(n theta)+isin(n theta))#

Wenn man sich #1# als komplexe Zahl, dann haben Sie #rho=1#, und #theta=2pi#. Wir suchen also nach drei Zahlen, so dass #rho^3=1#, und #3theta=2pi#.

Da #rho# ist eine reelle Zahl, die einzige Lösung für #rho^3=1# is #rho=1#. Andererseits haben wir unter Verwendung der Periodizität der Winkel die drei Lösungen für #theta# sind
#theta_{1,2,3}=frac{2kpi}{3}#Z. #k=0,1,2#.

Dies bedeutet, dass die drei Lösungen sind:

1. #rho=1, theta=0#, das ist die reelle Zahl #1#.
2. #rho=1, theta=frac{2pi}{3}#, das ist die komplexe Zahl #-1/2 + sqrt{3}/2 i#
3. #rho=1, theta=frac{4pi}{3}#, das ist die komplexe Zahl #-1/2 - sqrt{3}/2 i#