Wie verwende ich den Satz von DeMoivre, um z ^ 3-1 = 0 zu lösen?
If z^3-1=0, dann suchen wir nach den kubischen Wurzeln der Einheit, also nach solchen Zahlen z^3=1.
Wenn Sie komplexe Zahlen verwenden, gilt jede Polynomgradgleichung k genau ergibt k Lösung. Wir erwarten also drei Kubikwurzeln.
Der Satz von De Moivre verwendet die Tatsache, dass wir jede komplexe Zahl als schreiben können rho e^{i theta}= rho (cos(theta)+isin(theta))und es besagt, dass, wenn
z=rho (cos(theta)+isin(theta)), dann
z^n = rho^n (cos(n theta)+isin(n theta))
Wenn man sich 1 als komplexe Zahl, dann haben Sie rho=1, und theta=2pi. Wir suchen also nach drei Zahlen, so dass rho^3=1, und 3theta=2pi.
Da rho ist eine reelle Zahl, die einzige Lösung für rho^3=1 is rho=1. Andererseits haben wir unter Verwendung der Periodizität der Winkel die drei Lösungen für theta sind
theta_{1,2,3}=frac{2kpi}{3}Z. k=0,1,2.
Dies bedeutet, dass die drei Lösungen sind:
- rho=1, theta=0, das ist die reelle Zahl 1.
- rho=1, theta=frac{2pi}{3}, das ist die komplexe Zahl -1/2 + sqrt{3}/2 i
- rho=1, theta=frac{4pi}{3}, das ist die komplexe Zahl -1/2 - sqrt{3}/2 i