Wie vereinfacht man #cos (2 tan ^ -1 x) #?

Antworten:

Verwenden Sie die Doppelwinkelformel, um den Koeffizienten im cos zu entfernen, und ordnen Sie dann die Standard-Triggerdefinitionen neu an, damit die Triggerfunktion mit der inversen Triggerfunktion in der Klammer übereinstimmt

Erläuterung:

Erinnern Sie sich an die doppelte Winkelformel:
#cos2theta=1-2sin^2theta#

Dann #cos(2arctanx)=1-2sin^2arctanx#. NB Ich habe "arctan" hier geschrieben, anstatt "#tan^(-1)#"weil die Kombination von Exponenten, die Potenzen und Funktionsumkehrungen bedeuten, möglicherweise verwirrend ist.

Wir haben also jetzt eine Triggerfunktion einer inversen Triggerfunktion. Wenn wir unsere ausdrücken können #sin# in Hinsicht auf #tan#, wird dies gleich aufheben.

Per Definition, #tantheta=(sintheta)/(costheta)=(sintheta)/sqrt(1-sin^2theta)#, damit
#tan^2theta(1-sin^2theta)=sin^2theta#
#tan^2theta=sin^2theta(1+tan^2theta)#
#sin^2theta=tan^2theta/(1+tan^2theta)#

Per Definition, #tanarctanx=x#, damit #1-2sin^2arctanx# wird #1-(2x^2)/(1+x^2)#. Dies über einen gemeinsamen Nenner zu setzen macht #(1-x^2)/(1+x^2)#.

So
#cos(2arctanx)=(1-x^2)/(1+x^2)#.

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