Wie unterscheidet sich die momentane Geschwindigkeit von der Durchschnittsgeschwindigkeit?

Die momentane Geschwindigkeit ist die spezifische Änderungsrate der Position (oder Verschiebung) in Bezug auf die Zeit an einem einzelnen Punkt #(x,t)#, Während Durchschnittsgeschwindigkeit ist die durchschnittliche Änderungsrate der Position (oder Verschiebung) in Bezug auf die Zeit über ein Intervall.

Grafisch ist die momentane Geschwindigkeit an einem beliebigen Punkt einer Funktion #x(t)# ist gleich der Steigung der Tangente auf die Funktion an diesem Ort. Inzwischen ist die Durchschnittsgeschwindigkeit ist gleich der Steigung der Sekantenlinie Dies schneidet die Funktion am Anfang und Ende des Intervalls.

Wenn Sie mit einem Problem konfrontiert werden, ist es in der Regel ziemlich offensichtlich, ob eine momentane Geschwindigkeit oder eine Durchschnittsgeschwindigkeit erforderlich ist. Angenommen, Timothy bewegt sich auf einer Spur. Nehmen Sie die Verschiebungsfunktion von Timothy an #x(t)# kann modelliert werden als #x(t) = t^2 - 5t + 4#. Der Einfachheit halber werden bestimmte Einheiten weggelassen.

Wenn Sie gefragt werden, ob Sie Timothys Geschwindigkeit ermitteln möchten an einem bestimmten Punktwürde die augenblickliche Geschwindigkeit am besten passen. Also zu einem bestimmten Zeitpunkt #(t_0, x_0)#Wir differenzieren unsere Funktion in Bezug auf #t#. Die Machtregel informiert uns darüber #x'(t) = 2t -5#. (Denken Sie daran, dass die Ableitung oder Änderungsrate der Position (oder Verschiebung) in Bezug auf die Zeit einfach Geschwindigkeit ist). Also, für unseren gegebenen Punkt, #x'(t_0) = 2(t_0)-5#

Wenn Sie gefragt werden, ob Sie Timothys Durchschnittsgeschwindigkeit im Verlauf von ermitteln möchten #b# Zeiteinheiten (ab #t=0#) ist die Berechnung einfacher, da wir keine Derivate benötigen. Stattdessen wird unsere Durchschnittsgeschwindigkeit durch die Differenz zwischen unserer Geschwindigkeit dargestellt #x# Werte an den Endpunkten, dividiert durch die abgelaufenen Einheiten von #t#. Mit anderen Worten, unsere allgemeine Durchschnittsgeschwindigkeitsformel für ein Intervall von #t=a# zu #t=b# is

#v_(avg) = [x(b)-x(a)]/(b-a)#

In diesem Fall #v_(avg) = [x(b)-x(0)]/(b-0) = [x(b) - x_0]/b#

Beachten Sie, dass dies in Fällen, in denen #a=b#. Es ist offensichtlich, dass wir in einem solchen Fall die momentane Geschwindigkeit anstelle der Durchschnittsgeschwindigkeit finden werden.