Wie testet man die Serie #Sigma 1 / (n!) # Von n ist # [0, oo) # auf Konvergenz?

Antworten:

Verwenden Sie den Ratio-Test, um die Konvergenz der Serie zu zeigen.

Erläuterung:

Wir werden den Ratio-Test verwenden. Der Ratio-Test sagt das für die Serie #suma_n#können wir eine Entscheidung über die Konvergenz treffen, indem wir #L=lim_(ararroo)abs(a_(n+1)/a_n)#. Untersuchen Sie den Wert von #L#:

  • If #L>1#, dann #suma_n# ist divergent.
  • If #L=1#, dann ist der Test nicht schlüssig.
  • If #L<1#, dann #suma_n# ist (absolut) konvergent.

Also für die Serie #sum_(n=0)^oo1/(n!)# wir lassen #a_n=1/(n!)#. Dann sehen wir das

#L=lim_(nrarroo)abs((1/((n+1)!))/(1/(n!)))=lim_(nrarroo)abs((n!)/((n+1)!))#

Dies erfordert einen kurzen Rückblick auf die Fakultät. Die Definition von Fakultät besagt, dass #(n+1)! =(n+1)(n!)#Ähnlich wie #7! = 7*6!#. Somit:

#L=lim_(nrarroo)abs((n!)/((n+1)(n!)))=lim_(nrarroo)abs(1/(n+1))=0#

Da #L=0# und deshalb #L<1#, wir sehen das #suma_n=sum_(n=0)^oo1/(n!)# konvergiert durch den Ratio-Test.

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