März 13, 2020

von Arlena

Wie testet man die Serie $Sigma 1 / (n!)$ Von n ist $[0, oo)$ auf Konvergenz?

Antworten:

Verwenden Sie den Ratio-Test, um die Konvergenz der Serie zu zeigen.

Erläuterung:

Wir werden den Ratio-Test verwenden. Der Ratio-Test sagt das für die Serie $suma_n$ können wir eine Entscheidung über die Konvergenz treffen, indem wir $L=lim_(ararroo)abs(a_(n+1)/a_n)$ . Untersuchen Sie den Wert von $L$ :

If $L>1$ , dann $suma_n$ ist divergent.
If $L=1$ , dann ist der Test nicht schlüssig.
If $L<1$ , dann $suma_n$ ist (absolut) konvergent.

Also für die Serie $sum_(n=0)^oo1/(n!)$ wir lassen $a_n=1/(n!)$ . Dann sehen wir das

$L=lim_(nrarroo)abs((1/((n+1)!))/(1/(n!)))=lim_(nrarroo)abs((n!)/((n+1)!))$

Dies erfordert einen kurzen Rückblick auf die Fakultät. Die Definition von Fakultät besagt, dass $(n+1)! =(n+1)(n!)$ Ähnlich wie $7! = 7*6!$ . Somit:

$L=lim_(nrarroo)abs((n!)/((n+1)(n!)))=lim_(nrarroo)abs(1/(n+1))=0$

Da $L=0$ und deshalb $L<1$ , wir sehen das $suma_n=sum_(n=0)^oo1/(n!)$ konvergiert durch den Ratio-Test.