Wie nimmt man die Ableitung von # Tan ^ -1 (y / x) #?

Ich gehe davon aus, dass Sie dies als eine Funktion von zwei unabhängigen Variablen betrachten #x# und #y#: #z=tan^{-1}(y/x)#. Die Antworten sind #frac{partial z}{partial x}=-frac{y}{x^{2}+y^{2}}# und #frac{partial z}{partial y}=frac{x}{x^2+y^2}#.

Beide Tatsachen lassen sich mit dem ableiten Kettenregel, die Machtregelund die Tatsache, dass #y/x=yx^{-1}# wie folgt:

#frac{partial z}{partial x}=frac{1}{1+(y/x)^2}cdot frac{partial}{partial x}(yx^{-1})=frac{1}{1+(y/x)^2}cdot (-yx^{-2})#

#=-frac{y}{x^{2}+y^{2}}#

und

#frac{partial z}{partial y}=frac{1}{1+(y/x)^2}cdot frac{partial}{partial y}(yx^{-1})=frac{1}{1+(y/x)^2}cdot (x^{-1})#

#=frac{1/x}{1+y^{2}/(x^{2})}=frac{x}{x^2+y^2}#