Wie konvertiert man # r = 4tan (θ) sec (θ) # in kartesische Form?

Nur um sich an die Grundlagen von zu erinnern Polar Koordinaten:

Polar Koordinaten

Das gewusst #sec theta= 1/cos theta#kann der Ausdruck in Polarkoordinaten so umgeschrieben werden:
#r=4*tan theta(1/cos theta)#

In Richtung der Konvertierung wissen wir, dass:
#r=sqrt(x^2+y^2)#
#theta=arc tan(y/x)#
Dann #tan theta=tan (arc tan (y/x))=y/x#

Um die Konvertierung abzuschließen, müssen wir nur feststellen #cos theta# in Funktion von x und y:
#tan theta = y/x# => #sin theta/cos theta =y/x# => #sqrt (1-cos^2 theta)/cos theta =y/x# => #(1-cos^2 theta)/cos^2 theta=y^2/x^2# => #x^2-x^2*cos^2 theta = y^2*cos^2 theta# => #cos^2 theta*(x^2+y^2)=x^2# => #cos theta =x/sqrt(x^2+y^2)#

Substitution #r#, #tan theta# und #cos theta#Durch die entsprechenden Funktionen in x und y wird der ursprüngliche Ausdruck:
#sqrt(x^2+y^2)=4.(y/x)(1/(x/sqrt(x^2+y^2)))# => #cancel(sqrt(x^2+y^2))*(x/cancel(sqrt(x^2+y^2)))=4.(y/x)# => #x^2=4y#

Testen des Ergebnisses (oder Umrechnen in Polarkoordinaten):
#x^2=4y# => #(r*cos theta)^2=4*r*sin theta# => #r ^cancel(2)*cos^2 theta=4*cancel(r)*sin theta# => #r=4(sin theta/cos theta)(1/(cos theta))# [Dieser Ausdruck entspricht dem ursprünglichen Ausdruck. Somit ist der resultierende Ausdruck (in x und y) korrekt.]