Wie können Sie mithilfe des Integraltests zeigen, ob `sum (1 / e ^ k)` divergiert oder konvergiert?

Der integrale Test besagt, dass:

If `int_1^oo f(x)dx` konvergiert zu einem Wert, der dann nicht unendlich ist `sum_(k=1)^oof(k)` wird auch konvergieren.

Zuerst müssen wir uns mit der Natur von beschäftigen `f(x) = 1/e^x`.

graph {1 / e ^ x [-10, 10, -5, 5]}

Wie wir sehen können `f(x)` ist streng abnehmend von `x = 1` auf Worte, damit wir den integralen Test anwenden können.

Merken `f(k)= 1/e^k = e^(-k)`

Integrieren Sie dies in Bezug auf `x` bekommen:

`int_1^ooe^-xdx = [-e^(-x)]_1^oo=[-1/e^(x)]_1^oo`

Für die obere Grenze können wir das als sehen `x` wird sehr groß der Boden der Fraktion wird auch groß, daher wird die Fraktion insgesamt sehr klein und verschwindet vollständig bei `x=oo` .Formeller:

`lim_(x->oo)(-1/e^x)=0`

Für die Untergrenze erhalten wir einfach: `-1/e^`

Die Bewertung der Grenzen ergibt also:

`[-1/e^(x)]_1^oo=-1/e^` das ist endlich.

Also, durch den Integraltest, wenn das Integral zu einem endlichen Wert konvergiert, dann ist die Summation:

`sum_(k=1)^oof(k)` konvergiert auch.

Es ist wichtig zu beachten, dass die Das Integral kann nicht zur Bewertung der Summe verwendet werden , aber teste nur, ob es konvergiert oder nicht, das heißt:

`sum_(k=1)^oo 1/e^k !=1/e`

Infact, wenn wir die Summe auswerten, die wir erhalten:

`sum_(k=1)^oo 1/e^k =1/(1-e)`