Wie können Sie den Grenzwertprozess verwenden, um den Bereich zwischen dem Diagramm # y = 16-x ^ 2 # und der x-Achse über das Intervall [1,3] zu ermitteln?

#int_a^b f(x) dx = lim_(nrarroo) sum_(i=1)^n f(x_i)Deltax#.

Wobei für jede positive ganze Zahl #n#, wir lassen #Deltax = (b-a)/n#

Und für #i=1,2,3, . . . ,n#, wir lassen #x_i = a+iDeltax#. (Diese #x_i# sind die richtigen Endpunkte der Teilintervalle.)

Ich bevorzuge es, diese Art von Problem Schritt für Schritt zu lösen.

#int_1^3 (16-x^2) dx#.

Finden #Delta x#

Für jeden #n#, wir bekommen

#Deltax = (b-a)/n = (3-1)/n = 2/n#

Finden #x_i#

Und #x_i = a+iDeltax = 1+i2/n = 1+(2i)/n#

Finden #f(x_i)#

#f(x_i) = 16-(x_i)^2 = 16-(1+(2i)/n)^2#

# = 16-(1+(4i)/n+(4i^2)/n^2)#

# = 15 -(4i)/n - (4i^2)/n^2#

Finden und vereinfachen #sum_(i=1)^n f(x_i)Deltax # um die Summen zu bewerten.

#sum_(i=1)^n f(x_i)Deltax = sum_(i=1)^n( 15 -(4i)/n - (4i^2)/n^2) 2/n#

# = sum_(i=1)^n( 30/n -(8i)/n^2 - (8i^2)/n^3)#

# =sum_(i=1)^n ( 30/n) - sum_(i=1)^n((8i)/n^2) - sum_(i=1)^n((8i^2)/n^3)#

# =30 /nsum_(i=1)^n ( 1)-8/n^2sum_(i=1)^n(i)-8/n^3sum_(i=1)^n(i^2) #

Bewerten Sie die Summen

# = 30/n(n) -8/n^2((n(n+1))/2) - 8/n^3((n(n+1)(2n+1))/6)#

(Wir haben im vorherigen Schritt Summenformeln verwendet.)

Schreiben Sie neu, bevor Sie das Limit finden

#sum_(i=1)^n f(x_i)Deltax = 30/n(n) - 8/n^2((n(n+1))/2) - 8/n^3((n(n+1)(2n+1))/6)#

# = 30 - 4((n(n+1))/n^2) - 4/3((n(n+1)(2n+1))/n^3)#

Jetzt müssen wir das Limit bewerten as #nrarroo#.

#lim_(nrarroo) ((n(n+1))/n^2) = 1#

#lim_(nrarroo) ((n(n+1)(2n+1))/n^3) = 2#

Um die Berechnung abzuschließen, haben wir

#int_0^1 x^2 dx = lim_(nrarroo) (30 - 4((n(n+1))/n^2) - 4/3((n(n+1)(2n+1))/n^3)#

# = 30 - 4(1) - 4/3(2)#

# = 90/3 - 12/3 - 8/3 = 70/3#.