Wie kann man #int sin (lnx) # durch die Methode der Integration nach Teilen integrieren?

Lassen #I = int sin(lnx) dx#

Wir müssen uns entscheiden (raten), ob wir es verwenden wollen #sin(lnx)#as #u# or #dv#. Es stellt sich heraus, dass entweder funktioniert.

Methode 1
Lassen #u = sin(lnx)# und #dv = dx#.

Dann #du = 1/x cos(lnx) dx# und #v = x#

#I = uv-intvdu#

# = xsin(lnx)-intcos(lnx) dx#

Wiederholen Sie mit #u = cos(lnx)# und #dv = dx#,

so #du = -1/xsin(lnx)# und #v = x#.

#I = xsin(lnx)-[ xcos(lnx)- int -sin(lnx) dx ]#

#I = xsin(lnx)- xcos(lnx)- underbrace(int sin(lnx) dx)_I #

#2I = xsin(lnx)- xcos(lnx)#

#I = 1/2( xsin(lnx)- xcos(lnx) )#

Methode 2

Lassen #I = int sin(lnx) dx#

Zu verwenden, um #sin(lnx) dx# in #dv#müssen wir integrieren können #dv#.
Wir könnten eine Substitution gebrauchen, wenn wir die Ableitung von hätten #lnx# als Faktor, also werden wir es vorstellen.

#I = int x sin(lnx) 1/x dx#

Lassen #u = x# und #dv = sin(lnx) 1/x dx#.

Dann #du =dx# und #v = -cos(lnx)#

#I = uv-intvdu#

# = -xcos(lnx)+int cos(lnx) dx#

Wir werden wieder Teile verwenden. (Und wir hoffen, dass es funktioniert. Wenn nicht, versuchen wir etwas anderes.)

# = -xcos(lnx)+int x cos(lnx) 1/x dx#

Lassen #u = x# und #dv = cos(lnx) 1/x dx#.

Dann #du =dx# und #v = sin(lnx)#

#I = -xcos(lnx)+[xsin(lnx)-underbrace(intsin(lnx) dx)_I]#

#2I = -xcos(lnx)+xsin(lnx)#

#I = 1/2( xsin(lnx)- xcos(lnx) )#