Wie kann man $\int sin (ln x)$ $int sin (lnx)$ durch die Methode der Integration nach Teilen integrieren?

Lassen $I = \int sin (ln x) d x$ $I = int sin(lnx) dx$

Wir müssen uns entscheiden (raten), ob wir es verwenden wollen $sin (ln x)$ $sin(lnx)$ as $u$ $u$ or $d v$ $dv$ . Es stellt sich heraus, dass entweder funktioniert.

Methode 1
Lassen $u = sin (ln x)$ $u = sin(lnx)$ und $d v = d x$ $dv = dx$ .

Dann $d u = \frac{1}{x} cos (ln x) d x$ $du = 1/x cos(lnx) dx$ und $v = x$ $v = x$

$I = u v - \int v d u$ $I = uv-intvdu$

$= x sin (ln x) - \int cos (ln x) d x$ $= xsin(lnx)-intcos(lnx) dx$

Wiederholen Sie mit $u = cos (ln x)$ $u = cos(lnx)$ und $d v = d x$ $dv = dx$ ,

so $d u = - \frac{1}{x} sin (ln x)$ $du = -1/xsin(lnx)$ und $v = x$ $v = x$ .

$I = x sin (ln x) - [x cos (ln x) - \int - sin (ln x) d x]$ $I = xsin(lnx)-[ xcos(lnx)- int -sin(lnx) dx ]$

$I = xsin(lnx)- xcos(lnx)- underbrace(int sin(lnx) dx)_I$

$2I = xsin(lnx)- xcos(lnx)$

$I = 1/2( xsin(lnx)- xcos(lnx) )$

Methode 2

Lassen $I = int sin(lnx) dx$

Zu verwenden, um $sin(lnx) dx$ in $dv$ müssen wir integrieren können $dv$ .
Wir könnten eine Substitution gebrauchen, wenn wir die Ableitung von hätten $lnx$ als Faktor, also werden wir es vorstellen.

$I = int x sin(lnx) 1/x dx$

Lassen $u = x$ und $dv = sin(lnx) 1/x dx$ .

Dann $du =dx$ und $v = -cos(lnx)$

$I = uv-intvdu$

$= -xcos(lnx)+int cos(lnx) dx$

Wir werden wieder Teile verwenden. (Und wir hoffen, dass es funktioniert. Wenn nicht, versuchen wir etwas anderes.)

$= -xcos(lnx)+int x cos(lnx) 1/x dx$

Lassen $u = x$ und $dv = cos(lnx) 1/x dx$ .

Dann $du =dx$ und $v = sin(lnx)$

$I = -xcos(lnx)+[xsin(lnx)-underbrace(intsin(lnx) dx)_I]$

$2I = -xcos(lnx)+xsin(lnx)$

$I = 1/2( xsin(lnx)- xcos(lnx) )$

Wie kann man int sin (lnx) ∫sin(lnx)int sin (lnx) durch die Methode der Integration nach Teilen integrieren?

Wie kann man $\int sin (ln x)$ $int sin (lnx)$ durch die Methode der Integration nach Teilen integrieren?