Wie kann man $\int arctan (\frac{1}{x})$ $int arctan (1 / x)$ mit der Integration nach Teilen integrieren?

Antworten:

Siehe den Erklärungsabschnitt unten.

Erläuterung:

$\int arctan (\frac{1}{x}) d x$ $int arctan(1/x) dx$

Lassen $θ = arctan (\frac{1}{x})$ $theta = arctan(1/x)$ .

Dadurch $tan θ = \frac{1}{x}$ $tan theta = 1/x$ , damit $cot θ = x$ $cot theta = x$ .

Außerdem, $d x = - {csc}^{2} θ d θ$ $dx = -csc^2 theta " " d theta$

Das Integral wird:

$\int θ (- {csc}^{2} θ) d θ$ $int theta (-csc^2 theta) d theta$

Lassen $u = θ$ $u = theta$ und $d v = (- {csc}^{2} θ) d θ$ $dv = (-csc^2 theta) d theta$

So $d u = d θ$ $du = d theta$ und $v = cot θ$ $v = cot theta$

$u v - \int v d u = θ cot θ - \int cot θ d θ$ $uv-int v du = theta cot theta - int cot theta d theta$

Das Integral kann durch Substitution gefunden werden. Wir bekommen
$θ cot θ - ln | sin θ | + C$ $theta cot theta -ln abs sin theta +C$

Mit $cot θ = x$ $cot theta = x$ und etwas Trigonometrie sind wir $sin θ = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ $sin theta = 1/sqrt(x^2+1)$

Deshalb

$\int arctan (\frac{1}{x}) d x = x arctan (\frac{1}{x}) - ln (\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}) + C$ $int arctan(1/x) dx = x arctan (1/x)-ln(1/sqrt(x^2+1))+C$

$= x arctan (\frac{1}{x}) + \frac{1}{2} ln (x^{2} + 1) + C$ $= x arctan(1/x)+1/2 ln(x^2+1) +C$

Wie kann man int arctan (1 / x) ∫arctan(1x)int arctan (1 / x) mit der Integration nach Teilen integrieren?

Antworten:

Erläuterung:

Wie kann man $\int arctan (\frac{1}{x})$ $int arctan (1 / x)$ mit der Integration nach Teilen integrieren?