Wie kann man #int arctan (1 / x) # mit der Integration nach Teilen integrieren?

#int arctan(1/x) dx#

Lassen #theta = arctan(1/x)#.

Dadurch #tan theta = 1/x#, damit #cot theta = x#.

Außerdem, #dx = -csc^2 theta " " d theta#

Das Integral wird:

#int theta (-csc^2 theta) d theta#

Lassen #u = theta# und #dv = (-csc^2 theta) d theta#

So #du = d theta# und #v = cot theta#

#uv-int v du = theta cot theta - int cot theta d theta#

Das Integral kann durch Substitution gefunden werden. Wir bekommen
#theta cot theta -ln abs sin theta +C#

Mit #cot theta = x# und etwas Trigonometrie sind wir #sin theta = 1/sqrt(x^2+1)#

Deshalb

#int arctan(1/x) dx = x arctan (1/x)-ln(1/sqrt(x^2+1))+C#

# = x arctan(1/x)+1/2 ln(x^2+1) +C#