Wie findet man eine Potenzreihendarstellung für `ln (5-x)` und wie groß ist der Konvergenzradius?

Wir können von der Potenzreihe ausgehen, die Sie während des Semesters gelernt haben:

`1/(1-u) = sum_(n=0)^(N) u^n = 1 + u + u^2 + u^3 + ...`

Nun lasst uns abarbeiten `ln(5-x)` zu erreichen `1/(1-u)`.

`d/(dx)[ln(5-x)] = -1/(5-x) = -1/5*1/(1-x/5)`

Also mit `u = x/5`Wir hatten gerade das Derivat genommen und dann ausgeklammert `-1/5`. Um die Potenzreihe zu erhalten, müssen wir rückwärts arbeiten.

Wir hatten das gemacht:

1. Differenziert unser Ziel.
2. Ausgebucht `-1/5`.
3. Ausgewechselt `x/5` in `u`.

Nun kehren wir einfach das, was wir getan haben, ausgehend von der Potenzreihe selbst, um.

1. Ersatz `u = x/5`.
2. Mal `-1/5`.
3. Integrieren Sie das Ergebnis.

Da `int "function"= int"power series of that function"`, Wir können das schaffen:

`1/(1-x/5) = 1 + x/5 + x^2/25 + x^3/125 + ...`

`-1/5*1/(1-x/5) = -1/5 - x/25 - x^2/125 - x^3/625 - ...`

`int -1/5*1/(1-x/5)dx = ln(5-x)`

`= int -1/5 - x/25 - x^2/125 - x^3/625 - ...dx`

`= mathbf(C) - x/5 - x^2/50 - x^3/375 - x^4/2500 - ...`

Beachten Sie, wie wir die Konstante noch herausfinden müssen `C` weil wir das durchgeführt haben unbestimmt Integral. `C` ist der Begriff für `n = 0`.

Für eine regelmäßige Potenzreihe abgeleitet von `1/(1-x)`, wir schreiben

`sum_(n=0)^N (x-0)^n = 1/(1-x)`.
where the power series is centered around `a = 0` since it's really the Maclaurin series (meaning, the Taylor series centered around `a = 0`).

Wir wissen, dass die Konstante kein. Enthalten darf `x` Begriff (weil `x` ist eine Variable). Die Konstante kann nicht sein `lnx`, also die Konstante `C` is `color(green)(ln(5))`. Also bekommen wir:

`color(blue)(ln(5-x) = ln(5) - x/5 - x^2/50 - x^3/375 - x^4/2500 - ...)`

Und schließlich für den Konvergenzradius `|x| < 5` weil `ln(5-x)` Ansätze `-oo` as `x->5`. Wir wissen, dass die Potenzreihen bereits konvergieren müssen `ln(5-x)` Überall dort, wo die Funktion existiert, weil sie konstruiert wurde in die Funktion.