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Wie findet man eine Potenzreihendarstellung für #ln (5-x) # und wie groß ist der Konvergenzradius?

Wir können von der Potenzreihe ausgehen, die Sie während des Semesters gelernt haben:

#1/(1-u) = sum_(n=0)^(N) u^n = 1 + u + u^2 + u^3 + ...#

Nun lasst uns abarbeiten #ln(5-x)# zu erreichen #1/(1-u)#.

#d/(dx)[ln(5-x)] = -1/(5-x) = -1/5*1/(1-x/5)#

Also mit #u = x/5#Wir hatten gerade das Derivat genommen und dann ausgeklammert #-1/5#. Um die Potenzreihe zu erhalten, müssen wir rückwärts arbeiten.

Wir hatten das gemacht:

  1. Differenziert unser Ziel.
  2. Ausgebucht #-1/5#.
  3. Ausgewechselt #x/5# in #u#.

Nun kehren wir einfach das, was wir getan haben, ausgehend von der Potenzreihe selbst, um.

  1. Ersatz #u = x/5#.
  2. Mal #-1/5#.
  3. Integrieren Sie das Ergebnis.

Da #int "function"= int"power series of that function"#, Wir können das schaffen:

#1/(1-x/5) = 1 + x/5 + x^2/25 + x^3/125 + ...#

#-1/5*1/(1-x/5) = -1/5 - x/25 - x^2/125 - x^3/625 - ...#

#int -1/5*1/(1-x/5)dx = ln(5-x)#

#= int -1/5 - x/25 - x^2/125 - x^3/625 - ...dx#

#= mathbf(C) - x/5 - x^2/50 - x^3/375 - x^4/2500 - ...#

Beachten Sie, wie wir die Konstante noch herausfinden müssen #C# weil wir das durchgeführt haben unbestimmt Integral. #C# ist der Begriff für #n = 0#.

Für eine regelmäßige Potenzreihe abgeleitet von #1/(1-x)#, wir schreiben

#sum_(n=0)^N (x-0)^n = 1/(1-x)#.
where the power series is centered around #a = 0# since it's really the Maclaurin series (meaning, the Taylor series centered around #a = 0#).

Wir wissen, dass die Konstante kein. Enthalten darf #x# Begriff (weil #x# ist eine Variable). Die Konstante kann nicht sein #lnx#, also die Konstante #C# is #color(green)(ln(5))#. Also bekommen wir:

#color(blue)(ln(5-x) = ln(5) - x/5 - x^2/50 - x^3/375 - x^4/2500 - ...)#

Und schließlich für den Konvergenzradius #|x| < 5# weil #ln(5-x)# Ansätze #-oo# as #x->5#. Wir wissen, dass die Potenzreihen bereits konvergieren müssen #ln(5-x)# Überall dort, wo die Funktion existiert, weil sie konstruiert wurde in die Funktion.