Wie findet man eine Potenzreihendarstellung für (arctan (x)) / (x) und wie groß ist der Konvergenzradius?
Antworten:
Integrieren Sie die Potenzreihe der Ableitung von arctan(x) dann dividiere durch x.
Erläuterung:
Wir kennen die Potenzreihendarstellung von 1/(1-x) = sum_nx^n AAx so dass absx < 1. So 1/(1+x^2) = (arctan(x))' = sum_n (-1)^nx^(2n).
Also die Potenzreihe von arctan(x) is intsum_n (-1)^nx^(2n)dx = sum_n int(-1)^nx^(2n)dx = sum_n((-1)^n)/(2n+1)x^(2n+1).
Sie teilen es durch xfinden Sie heraus, dass die Potenzreihe von arctan(x)/x is sum_n((-1)^n)/(2n+1)x^(2n). Sagen wir u_n = ((-1)^n)/(2n+1)x^(2n)
Um den Konvergenzradius dieser Potenzreihe zu ermitteln, werten wir aus lim_(n -> +oo)abs((u_(n+1))/u_n.
(u_(n+1))/u_n = (-1)^(n+1)*x^(2n+2)/(2n+3)(2n+1)/((-1)^nx^(2n)) = -(2n+1)/(2n+3)x^2.
lim_(n -> +oo)abs((u_(n+1))/u_n) = abs(x^2). Wenn wir also wollen, dass die Potenzreihen konvergieren, brauchen wir abs(x^2) = absx^2 < 1, so wird die Serie konvergieren, wenn absx <1, was nicht verwunderlich ist, da es sich um den Konvergenzradius der Potenzreihendarstellung handelt arctan(x).