Wie findet man eine Potenzreihendarstellung für $1 / (1-x) ^ 2$ und wie groß ist der Konvergenzradius?

$1/(1-x)^2=1+2x+3x^2+...$

Wir sind gegeben

$f(x)=1/(1-x)^2$

Das ist ziemlich ähnlich zu $1/(1-x)$ , für die wir eine Potenzreihe kennen:

$1/(1-x) = 1+x+x^2+...=sum_(k=0)^oo x^k$

Der Konvergenzradius für diese Potenzreihe beträgt $x in (-1,1)$ .

Es wäre zwar einfach, das zu sagen

$1/(1-x)^2 = (sum_(k=0)^oo x^k)^2$

Dies ist keine gültige Darstellung einer Potenzreihe.

In der Regel ergeben sich einige Potenzreihen aus Derivate. Es wäre auch einen Versuch wert.

$"d"/("d"x) [1/(1-x)] = "d"/("d"x) [1+x+x^2+...]$

$"d"/("d"x) [1/(1-x)] = - ("d"/("d"x) [1-x])/(1-x)^2=color(red)(1/(1-x)^2$

As $"d"/("d"x) x^k = kx^(k-1)$ :

$"d"/("d"x) [1+x+x^2+...] = 0 + 1 + 2x + 3x^2 + ... = sum_(k=0)^oo kx^(k-1)$

Daher die Potenzreihendarstellung von $f(x)$ is

$1/(1-x)^2 = sum_(k=0)^oo kx^(k-1)$

mit Konvergenzradius $x in (-1,1)$ .

Wie findet man eine Potenzreihendarstellung für 1 / (1-x) ^ 2 1 / (1-x) ^ 2 und wie groß ist der Konvergenzradius?