Wie finden Sie einen Ausdruck für $sin (x)$ in Form von $e ^ (ix)$ und $e ^ (ix)$ ?

$sinx = (e^(ix) - e^(-ix))/(2i)$

Beginnen Sie mit der MacLaurin-Reihe der Exponentialfunktion:

$e^x = sum_(n=0)^oo x^n/(n!)$

so:

$e^(ix) = sum_(n=0)^oo (ix)^n/(n!) = sum_(n=0)^oo i^nx^n/(n!)$

Trennen Sie jetzt die Begriffe für $n$ sogar und $n$ ungerade und lassen $n=2k$ im ersten Fall, $n= 2k+1$ in dieser Sekunde:

$e^(ix) = sum_(k=0)^oo i^(2k) x^(2k)/((2k)!) + sum_(k=0)^oo i^(2k+1)x^(2k+1)/((2k+1)!)$

Beachten Sie jetzt, dass:

$i^(2k) = (i^2)^k = (-1)^k$

$i^(2k+1) = i*i^(2k) = i*(-1)^k$

so:

$e^(ix) = sum_(k=0)^oo (-1)^k x^(2k)/((2k)!) + isum_(k=0)^oo (-1)^k x^(2k+1)/((2k+1)!)$

und wir können die MacLaurin-Erweiterungen von erkennen $cosx$ und $sinx$ :

$e^(ix) = cosx +i sinx$

Das ist Eulers Formel.

In Anbetracht, dass $cosx$ ist eine gerade Funktion und $sinx$ und ungerade Funktion dann haben wir:

$e^(-ix) = cos(-x) + i sin(-x) = cosx-i sinx$

dann:

$e^(ix) - e^(-ix) = 2i sinx$

und schlussendlich:

$sinx = (e^(ix) - e^(-ix))/(2i)$

Wie finden Sie einen Ausdruck für sin (x) sin (x) in Form von e ^ (ix) e ^ (ix) und e ^ (ix) e ^ (ix) ?