Wie finden Sie die Taylor-Reihe von #f (x) = cos (x) #?

Die Taylor-Reihe von #f(x)=cosx# at #x=0# is
#f(x)=sum_{n=0}^infty (-1)^nx^{2n}/{(2n)!}#.

Sehen wir uns einige Details an.

Die Taylor-Serie für #f(x)# at #x=a# im Allgemeinen kann durch gefunden werden
#f(x)=sum_{n=0}^infty {f^{(n)}(a)}/{n!}(x-a)^n#

Lassen Sie uns die Taylor-Serie für finden #f(x)=cosx# at #x=0#.

Durch die Einnahme der Derivate,
#f(x)=cosx Rightarrow f(0)=cos(0)=1#
#f'(x)=-sinx Rightarrow f'(0)=-sin(0)=0#
#f''(x)=-cosx Rightarrow f''(0)=-cos(0)=-1#
#f'''(x)=sinx Rightarrow f'''(0)=sin(0)=0#
#f^{(4)}(x)=cosx Rightarrow f^{(4)}(0)=cos(0)=1#

Da #f(x)=f^{(4)}(x)#, der Zyklus von #{1,0,-1,0}# wiederholt sich.

Wir haben also die Serie
#f(x)=1-{x^2}/{2!}+x^4/{4!}-cdots=sum_{n=0}^infty(-1)^n x^{2n}/{(2n)!}#