Wie finden Sie die Quadratwurzel von # 13 #?

Da #13# ist eine Primzahl, es gibt keine einfachere Form für ihre Quadratwurzel. #sqrt(13)# ist eine irrationale Zahl irgendwo dazwischen #3 = sqrt(9)# und #4 = sqrt(16)#.

Linear interpolierend wäre eine vernünftige erste Annäherung:

#sqrt(13) ~~ 3.6 = 18/5#

Wir können bessere Annäherungen von unserer anfänglichen erhalten (nennen Sie es #a_0#) unter Verwendung einer Newton-Raphson-Methode.

Eine typische Formel, die verwendet wird, um eine genauere Näherung für abzuleiten #sqrt(n)# wäre:

#a_(i+1) = (a_i^2+n)/(2a_i)#

Ich ziehe es vor, mich zu trennen #a_i# in Zähler #p_i# und Nenner #q_i#. So #a_i = p_i/q_i# und wir können iterieren mit den Formeln:

#{ (p_(i+1) = p_i^2 + n q_i^2), (q_(i+1) = 2 p_i q_i) :}#

In unserem Beispiel #n = 13#, #p_0 = 18#, #q_0 = 5# und wir finden:

#{ (p_1 = p_0^2 + 13 q_0^2 = 324 + 13*25 = 649), (q_1 = 2 p_0 q_0 = 180) :}#

Wenn wir hier aufhören würden, wäre unsere Annäherung:

#sqrt(13) ~~ 649/180 = 3.60bar(5)#

Versuchen wir noch eine Iteration:

#{ (p_2 = p_1^2 + 13 q_1^2 = 421201 + 13*32400 = 842401), (q_2 = 2 p_1 q_1 = 233640) :}#

Wenn wir hier anhalten, haben wir:

#sqrt(13) ~~ 842401/233640 ~~ 3.60555127547#

Verwenden eines Taschenrechners:

#sqrt(13) ~~ 3.60555127546398929311#