Wie finden Sie die Quadratwurzel von `13`?

Da `13` ist eine Primzahl, es gibt keine einfachere Form für ihre Quadratwurzel. `sqrt(13)` ist eine irrationale Zahl irgendwo dazwischen `3 = sqrt(9)` und `4 = sqrt(16)`.

Linear interpolierend wäre eine vernünftige erste Annäherung:

`sqrt(13) ~~ 3.6 = 18/5`

Wir können bessere Annäherungen von unserer anfänglichen erhalten (nennen Sie es `a_0`) unter Verwendung einer Newton-Raphson-Methode.

Eine typische Formel, die verwendet wird, um eine genauere Näherung für abzuleiten `sqrt(n)` wäre:

`a_(i+1) = (a_i^2+n)/(2a_i)`

Ich ziehe es vor, mich zu trennen `a_i` in Zähler `p_i` und Nenner `q_i`. So `a_i = p_i/q_i` und wir können iterieren mit den Formeln:

`{ (p_(i+1) = p_i^2 + n q_i^2), (q_(i+1) = 2 p_i q_i) :}`

In unserem Beispiel `n = 13`, `p_0 = 18`, `q_0 = 5` und wir finden:

`{ (p_1 = p_0^2 + 13 q_0^2 = 324 + 13*25 = 649), (q_1 = 2 p_0 q_0 = 180) :}`

Wenn wir hier aufhören würden, wäre unsere Annäherung:

`sqrt(13) ~~ 649/180 = 3.60bar(5)`

Versuchen wir noch eine Iteration:

`{ (p_2 = p_1^2 + 13 q_1^2 = 421201 + 13*32400 = 842401), (q_2 = 2 p_1 q_1 = 233640) :}`

Wenn wir hier anhalten, haben wir:

`sqrt(13) ~~ 842401/233640 ~~ 3.60555127547`

Verwenden eines Taschenrechners:

`sqrt(13) ~~ 3.60555127546398929311`