Wie finden Sie die Maclaurin-Reihenerweiterung von # 1 / (1-x ^ 2) #?

Die Maclaurin-Serie ist die gleiche wie die Taylor-Serie, nur dass sie erweitert wurde #a = 0#.

Sie können also mit der Taylor-Seriendefinition beginnen:

#sum_(n = 0)^N f^((n))(a)/(n!)(x-a)^n#

und modifiziere es um zu bekommen:

#sum_(n = 0)^N f^((n))(0)/(n!)x^n#

Jetzt können wir die nehmen #n#th Ableitung. Sagen wir, wir gehen zu #n = 3# nur, weil ich weiß, dass das ein bisschen lächerlich wird.

#f^((0))(x) = color(green)(f(x)) = (1-x^2)^(-1) = color(green)(1/(1-x^2))#

#color(green)(f'(x)) = -(1-x^2)^(-2)(-2x) = (2x)(1-x^2)^(-2) = color(green)((2x)/(1-x^2)^2)#

#color(green)(f''(x)) = (2x)(-2(1-x^2)^(-3)(-2x)) + (1-x^2)^(-2)(2)#

#= 8x^2(1-x^2)^(-3) + 2(1-x^2)^(-2) = color(green)((8x^2)/(1-x^2)^3 + 2/(1-x^2)^2)#

#color(green)(f'''(x)) = [(8x^2)(-3(1-x^2)^(-4)(-2x)) + (1-x^2)^(-3)(16x)] + [2*(-2(1-x^2)^(-3)(-2x))]#

#= [(48x^3)(1-x^2)^(-4) + (1-x^2)^(-3)(16x)] + [8x(1-x^2)^(-3)]#

#= (48x^3)/(1-x^2)^(4) + (16x)/(1-x^2)^(3) + (8x)/(1-x^2)^(3)#

#= color(green)((48x^3)/(1-x^2)^(4) + (24x)/(1-x^2)^(3))#

Also die Maclaurin-Serie bis zu #n = 3# ist:

#sum_(n = 0)^3 f^((n))(0)/(n!)x^n#

#= [1/(1-a^2)]/(0!)(x-a)^0 + [(2a)/(1-a^2)^2]/(1!)(x-a)^1 + [(8a^2)/(1-a^2)^3 + 2/(1-a^2)^2]/(2!)(x-a)^2 + [(48a^3)/(1-a^2)^(4) + (24a)/(1-a^2)^(3)]/(3!)(x-a)^3#

#= [1/(1-(0)^2)]/(0!)x^0 + [(2(0))/(1-(0)^2)^2]/(1!)x^1 + [(8(0)^2)/(1-(0)^2)^3 + 2/(1-(0)^2)^2]/(2!)x^2 + [(48(0)^3)/(1-(0)^2)^(4) + (24(0))/(1-(0)^2)^(3)]/(3!)x^3 + ...#

#= color(blue)(1 + x^2 + x^4 + ...)#

Die ungeraden Begriffe verschwinden einfach. Wie praktisch!

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