Wie finden Sie die Länge der Kurve # y = sqrt (xx ^ 2) + arcsin (sqrt (x)) #?

Die Bogenlänge einer stetigen Kurve von #a# zu #b# ist gegeben durch #int_a^b sqrt(1+ (dy/dx)^2)#. Beginnen wir mit der Berechnung der Ableitung.

#y' = (1 - 2x)/(2sqrt(x - x^2)) + 1/(2sqrt(x - x^2)#

#y' = (1 - 2x + 1)/(2sqrt(x- x^2))#

#y' = (2 - 2x)/(2sqrt(x - x^2)#

#y' = (2(1 - x))/(2sqrt(x - x^2)#

#y' = (1 - x)/sqrt(x(1 - x))#

Lassen Sie uns nun die Endpunkte der Funktion finden #y#. Die Funktion #y = arcsinx# hat Domain #{x|-1 ≤ x ≤ 1, x in RR}#. Da jedoch der Wert unter der Quadratwurzel positiv sein muss, #y = arcsinsqrt(x)# hat Domain #{x| 0 ≤ x ≤ 1, x in RR}#.

Der zweite Teil der Funktion, #y = sqrt(x - x^2)#hat die gleiche Domain wie #y = arcsinsqrt(x)#. So können wir schließen, dass unsere Grenzen der Integration bestehen werden #0# zu #1#. Nennen Sie die Bogenlänge #A#.

#A = int_0^1 sqrt(1 + ((1 - x)/sqrt(x(1 - x)))^2)dx#

#A = int_0^1 sqrt(1 + (1 - x)^2/(x(1 - x)))dx#

#A = int_0^1 sqrt(1 + (1 - x)/x) dx#

#A = int_0^1 sqrt(1 + 1/x - x/x)dx#

#A = int_0^1 sqrt(1 + 1/x - 1)dx#

#A = int_0^1 sqrt(x^-1)#

#A = int_0^1 (x^-1)^(1/2)#

#A = int_0^1 x^(-1/2)#

#A = [2x^(1/2)]_0^1#

#A = 2(1)^(1/2) - 2(0)^(1/2)#

#A = 2#

Hoffentlich hilft das!