März 9, 2020

von Yetta

Wie finden Sie die Länge der Kurve $y = sqrt (xx ^ 2) + arcsin (sqrt (x))$ ?

Antworten:

$2$ Einheiten.

Erläuterung:

Die Bogenlänge einer stetigen Kurve von $a$ zu $b$ ist gegeben durch $int_a^b sqrt(1+ (dy/dx)^2)$ . Beginnen wir mit der Berechnung der Ableitung.

$y' = (1 - 2x)/(2sqrt(x - x^2)) + 1/(2sqrt(x - x^2)$

$y' = (1 - 2x + 1)/(2sqrt(x- x^2))$

$y' = (2 - 2x)/(2sqrt(x - x^2)$

$y' = (2(1 - x))/(2sqrt(x - x^2)$

$y' = (1 - x)/sqrt(x(1 - x))$

Lassen Sie uns nun die Endpunkte der Funktion finden $y$ . Die Funktion $y = arcsinx$ hat Domain ${x|-1 ≤ x ≤ 1, x in RR}$ . Da jedoch der Wert unter der Quadratwurzel positiv sein muss, $y = arcsinsqrt(x)$ hat Domain ${x| 0 ≤ x ≤ 1, x in RR}$ .

Der zweite Teil der Funktion, $y = sqrt(x - x^2)$ hat die gleiche Domain wie $y = arcsinsqrt(x)$ . So können wir schließen, dass unsere Grenzen der Integration bestehen werden $0$ zu $1$ . Nennen Sie die Bogenlänge $A$ .

$A = int_0^1 sqrt(1 + ((1 - x)/sqrt(x(1 - x)))^2)dx$

$A = int_0^1 sqrt(1 + (1 - x)^2/(x(1 - x)))dx$

$A = int_0^1 sqrt(1 + (1 - x)/x) dx$

$A = int_0^1 sqrt(1 + 1/x - x/x)dx$

$A = int_0^1 sqrt(1 + 1/x - 1)dx$

$A = int_0^1 sqrt(x^-1)$

$A = int_0^1 (x^-1)^(1/2)$

$A = int_0^1 x^(-1/2)$

$A = [2x^(1/2)]_0^1$

$A = 2(1)^(1/2) - 2(0)^(1/2)$

$A = 2$

Hoffentlich hilft das!