Wie finden Sie die Haupteinheit Normalvektor der Kurve am angegebenen Wert des Parameters #r (t) = cos (3t) i + 2 sin (3t) j + k # wobei t pi?

Dies ist wirklich ein Kalkülproblem, und der Normalenvektor der Haupteinheit ist nicht derselbe wie ein Normalenvektor zu der Ebene, in der die Kurve liegt.

Der Geschwindigkeitsvektor ist #vec{v}(t)=vec{r}'(t)=-3sin(3t)hat{i}+6cos(3t)hat{j}# und seine Länge (die Geschwindigkeit) ist #||vec{v}(t)||=sqrt{9sin^{2}(3t)+36cos^{2}(3t)}#.

Dies bedeutet, dass der Einheitstangensvektor ist #vec{T}(t)=frac{vec{v}(t)}{||vec{v}(t)||}=frac{-3sin(3t)hat{i}+6cos(3t)hat{j}}{sqrt{9sin^{2}(3t)+36cos^{2}(3t)}}#. Beim #t=pi#wird dies #vec{T}(pi)=-hat{j}#.

Die Kurve liegt in der Ebene #z=1#, also der Normalvektor der Haupteinheit #vec{N}(pi)# wird in der gleichen Ebene liegen (und in der gleichen Ebene wie #vec{T}(pi)#) wird es senkrecht zu #vec{N}(pi)#und es zeigt direkt in Richtung des Krümmungszentrums, das in diesem Fall das Zentrum ist #(0,0,1)# der Ellipse, die die Kurve in der Ebene abzeichnet #z=1#. Beachten Sie auch das #r(pi)=-hat{i}+hat{k}# (Die Kurve ist am Punkt #(-1,0,1)# at #t=pi#).

Daher ist der Normalvektor der Haupteinheit #vec{N}(pi)=hat{i}#.

Hier ist ein Bild der Situation. Das Positive #x#-Achse kommt auf dich zu und das Positive #y#-Achse geht nach rechts. Die Stelle #(-1,0,1)# wird zusammen mit dem Einheitsnormalenvektor angezeigt #vec{N}(pi)=hat{i}#. Wieder ist es nicht normal zum Flugzeug. Es ist normal zur Kurve und liegt in der gleichen Ebene wie der "Oszillationskreis" oder "Kreis der besten Anpassung" an dem gegebenen Punkt (nicht gezeigt), der in der Ebene liegt #z=1#.