Wie finden Sie die Gleichungen der Tangenten an dem Punkt, an dem sich die Kurve kreuzt? # X = t ^ 2-t # und # y = t ^ 3-3t-1 #?

Der Gradient der Tangente an eine Kurve an einem bestimmten Punkt ist durch die Ableitung der Kurve an diesem Punkt gegeben. (Wenn nötig, dann ist die Normale senkrecht zur Tangente, so dass das Produkt ihrer Steigungen ist #-1#).

Wir haben:

# x = t^2-t #
# y = t^3-3t-1 #

Lassen Sie uns zunächst die Koordinaten finden, bei denen sich die Kurve kreuzt. In diesem Fall wird es ein bestelltes Paar geben #t_1=alpha# und #t_2=beta# mit #t_1 ne t_2# die gleichzeitig die parametrischen Gleichungen erfüllen, also:

# alpha^2-alpha = beta^2-beta# ..... [1]
# alpha^3-3alpha-1 = beta^3-3beta-1# ..... [2]

Aus [1] haben wir:

# alpha^2-beta^2 =alpha -beta #
# :. (alpha+beta)(alpha-beta)=alpha -beta #
# :. alpha+beta= 1 #
# :. beta =1-alpha#

Aus [2] haben wir:

# alpha^3-beta^3 =3alpha -3beta#
# :. (alpha - beta)(alpha^2 + alpha beta + beta^2) = 3(alpha -beta)#
# :. alpha^2 + alpha beta + beta^2 = 3#

# :. alpha^2 + alpha (1-alpha) + (1-alpha)^2 = 3#

# :. alpha^2 + alpha -alpha^2 + 1-2alpha+alpha^2 = 3#
# :. alpha^2-alpha-2 = 0#
# :. (alpha+1)(alpha-2) = 0#
# :. alpha=-1,2#

Und mit diesen Werten von #t#haben wir:

# t=-1 => x=2,y=1 #
# t= 2 => x=2,y=1 #

Somit berührt sich die Kurve bei #t=-1,2# entsprechend der rechteckigen Koordinate #(2,1)#

Dann implizit differenzieren wrt #t#und Anwenden der Kettenregel, gibt uns:

# dx/(dt) = 2t # and # dy/(dt) = 3t^2-3 #

# dy/dx = (dy//dt)/(dx//dt) = (3t^2-3)/(2t) #

Also bei der parametrischen Koordinate #t=-1#, wir haben;

# m_1 = dy/dx = (3-3)/(2) = 0#

Also geht die Tangente durch #(2,1)# und hat Steigung #m_1=0#Verwenden Sie also die Punkt- / Neigungsform #y-y_1=m(x-x_1)# die Gleichung, die wir suchen, ist;

# y - 1 = 0 #
# :. y = 1 #

Und an der parametrischen Koordinate #t=2#, wir haben;

# m_2 = dy/dx = (12-3)/(4) = 9/4#

Also geht die Tangente durch #(2,1)# und hat Steigung #m_2=9/4#Verwenden Sie also die Punkt- / Neigungsform #y-y_1=m(x-x_1)# die Gleichung, die wir suchen, ist;

# y - 1 = 9/4(x-2) #
# :. y - 1 = 9/4x-9/2 #
# :. y = 9/4x-7/2 #