Wie finden Sie die Fläche der Region, die von der Polarkurve # r ^ 2 = 4cos (2theta) # begrenzt wird?

Das erste, an das man sich erinnert, dass ein Integral eine Möglichkeit ist, unendlich viele Bereiche zu addieren. Für rechteckige Koordinaten (#y=f(x)#) sind diese Bereiche immer Rechtecke.

#int_a^bf(x)dx#

bedeutet wörtlich "lasst uns den Bereich einer unendlichen Anzahl von Rechtecken zwischen finden #x=a# und #x=b#, Wobei #f(x)# entspricht der Höhe jedes Rechtecks.

Polarkoordinaten folgen, obwohl es komplizierter zu sein scheint, demselben allgemeinen Muster. Der große Unterschied ist, dass es sich nicht um Rechtecke handelt. Wir haben es mit Kreissektoren zu tun. Auch als Pizzascheiben bekannt.

Die Fläche einer einzelnen Pizzascheibe eines Kreises ist #A=1/2r^2theta#

(Denken Sie daran, dass diese spezielle Bereichsformel nur funktioniert, wenn #theta# ist im Bogenmaß!)

Die Fläche einer unendlichen Anzahl von "Pizzastücken" ist also

#1/2int_a^br^2d theta#

das bedeutet wörtlich "lasst uns den Bereich einer unendlichen Anzahl von Pizzastücken dazwischen finden #theta=#Winkel #a# und #theta=# Winkel #b# woher r entspricht dem Radius jedes Pizzastücks.

Jetzt für Ihr spezielles Problem setzen wir uns ein #4cos(2theta)# in #r^2#.

#1/2int_a^br^2d theta = 1/2int_a^b4cos(2theta)d theta#

Nun müssen wir einen geeigneten ermitteln #a# und #b#.

Zuerst erinnern wir uns, wie eine Lemniskate aussieht.

Die #2theta# macht das ein bisschen schwierig. Grundsätzlich durchläuft dieser Polardiagramm seinen Zyklus doppelt so schnell. Das heißt wann #theta=pi/4#, #cos(2theta)# benimmt sich als ob #theta=pi/2#. Deshalb schrumpft der Radius bei auf Null #theta=pi/4#. weil #cos(2pi/4)=cos(pi/2)=0#.

Es sieht so aus, als wäre es am einfachsten, unseren Blickwinkel zu ändern #theta=-pi/4# zu #theta = pi/4#, was uns die rechte Hälfte der Lemniskate geben wird. Dann müssen wir nur unsere Antwort verdoppeln, um den gesamten von der Lemniskate begrenzten Bereich zu finden.

Also...

#A=2int_(-pi/4)^(pi/4)4cos(2theta)d theta#

#A=2(1/2)int_(-pi/4)^(pi/4)4cos(2theta)2d theta#

#A=int_(-pi/4)^(pi/4)4cos(2theta)2d theta#

#A=4sin(2theta)|_(-pi/4)^(pi/4)=4sin(2pi/4)-2sin(2(-pi/4))#

#A=4sin(pi/2)-4sin(-pi/2)=4(1)-4(-1)=8#