Wie finden Sie die Ableitung der Funktion anhand der Definition der Ableitung #g (t) = 7 / sqrt (t) #?

Antworten:

Der Schlüsselschritt ist die Rationalisierung eines Zählers.

Erläuterung:

#g(t) = 7/sqrtt#

Ich gehe davon aus, dass Sie die Definition verwenden dürfen:

#g'(t) = lim_(hrarr0)(g(t+h)-g(t))/h#

(Es gibt andere Möglichkeiten, die Definition der Ableitung auszudrücken, aber dies ist eine sehr häufige.)

#g'(t) = lim_(hrarr0)(g(t+h)-g(t))/h#

#= lim_(hrarr0)(7/sqrt(t+h)-7/sqrtt)/h#

#= lim_(hrarr0)(7sqrtt -7sqrt(t+h))/(sqrt(t+h)sqrtt)*1/h#

#= lim_(hrarr0)(7(sqrtt -sqrt(t+h)))/(hsqrt(t+h)sqrtt)#

Beachten Sie, dass wir, wenn wir versuchen, durch Substitution zu bewerten, die unbestimmte Form erhalten #0/0#.
Die Sache, die Sie hier versuchen sollten (es wird funktionieren), ist die Rationalisierung des Zählers mit dem Konjugat von #sqrtt-sqrt(t+h)#.

Das heißt: Wir werden multiplizieren mit #1#, in der Form: #(sqrtt + sqrt(t+h))/(sqrtt + sqrt(t+h))#

Wir setzen fort:

#g'(t) = lim_(hrarr0)(7(sqrtt -sqrt(t+h)))/(hsqrt(t+h)sqrtt) *((sqrtt + sqrt(t+h)))/((sqrtt + sqrt(t+h))) #

# =lim_(hrarr0) (7(t-(t+h)))/(hsqrt(t+h)sqrtt(sqrtt + sqrt(t+h))#

# =lim_(hrarr0) (-7cancel(h))/(cancel(h)sqrt(t+h)sqrtt(sqrtt + sqrt(t+h))#

Jetzt können wir das Limit auswerten:

#g'(t) = (-7)/(sqrt(t+0)sqrtt(sqrtt + sqrt(t+0))#

# = (-7)/(sqrttsqrtt(2sqrtt)) = (-7)/(t(2sqrtt)) = (-7)/(2tsqrtt)#

Text
Es kann hilfreich sein zu beobachten, dass wir in gewissem Sinne die Subtraktion getauscht haben: #sqrtt-sqrt(t+h)# im Zähler für einen Zusatz: #sqrtt+sqrt(t+h)# im Nenner.
Die Subtraktion geht an #0#Das tut der Zusatz nicht.
Dabei konnten wir den Faktor von beseitigen #h# sowohl vom Zähler als auch vom Nenner.

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