Wie finden Sie die Ableitung der Funktion anhand der Definition der Ableitung `g (t) = 7 / sqrt (t)`?

`g(t) = 7/sqrtt`

Ich gehe davon aus, dass Sie die Definition verwenden dürfen:

`g'(t) = lim_(hrarr0)(g(t+h)-g(t))/h`

(Es gibt andere Möglichkeiten, die Definition der Ableitung auszudrücken, aber dies ist eine sehr häufige.)

`g'(t) = lim_(hrarr0)(g(t+h)-g(t))/h`

`= lim_(hrarr0)(7/sqrt(t+h)-7/sqrtt)/h`

`= lim_(hrarr0)(7sqrtt -7sqrt(t+h))/(sqrt(t+h)sqrtt)*1/h`

`= lim_(hrarr0)(7(sqrtt -sqrt(t+h)))/(hsqrt(t+h)sqrtt)`

Beachten Sie, dass wir, wenn wir versuchen, durch Substitution zu bewerten, die unbestimmte Form erhalten `0/0`.
Die Sache, die Sie hier versuchen sollten (es wird funktionieren), ist die Rationalisierung des Zählers mit dem Konjugat von `sqrtt-sqrt(t+h)`.

Das heißt: Wir werden multiplizieren mit `1`, in der Form: `(sqrtt + sqrt(t+h))/(sqrtt + sqrt(t+h))`

Wir setzen fort:

`g'(t) = lim_(hrarr0)(7(sqrtt -sqrt(t+h)))/(hsqrt(t+h)sqrtt) *((sqrtt + sqrt(t+h)))/((sqrtt + sqrt(t+h)))`

`=lim_(hrarr0) (7(t-(t+h)))/(hsqrt(t+h)sqrtt(sqrtt + sqrt(t+h))`

`=lim_(hrarr0) (-7cancel(h))/(cancel(h)sqrt(t+h)sqrtt(sqrtt + sqrt(t+h))`

Jetzt können wir das Limit auswerten:

`g'(t) = (-7)/(sqrt(t+0)sqrtt(sqrtt + sqrt(t+0))`

`= (-7)/(sqrttsqrtt(2sqrtt)) = (-7)/(t(2sqrtt)) = (-7)/(2tsqrtt)`

Text
Es kann hilfreich sein zu beobachten, dass wir in gewissem Sinne die Subtraktion getauscht haben: `sqrtt-sqrt(t+h)` im Zähler für einen Zusatz: `sqrtt+sqrt(t+h)` im Nenner.
Die Subtraktion geht an `0`Das tut der Zusatz nicht.
Dabei konnten wir den Faktor von beseitigen `h` sowohl vom Zähler als auch vom Nenner.