Wie finden Sie die Ableitung der Funktion anhand der Definition der Ableitung g (t) = 7 / sqrt (t) ?

Antworten:

Der Schlüsselschritt ist die Rationalisierung eines Zählers.

Erläuterung:

g(t) = 7/sqrtt

Ich gehe davon aus, dass Sie die Definition verwenden dürfen:

g'(t) = lim_(hrarr0)(g(t+h)-g(t))/h

(Es gibt andere Möglichkeiten, die Definition der Ableitung auszudrücken, aber dies ist eine sehr häufige.)

g'(t) = lim_(hrarr0)(g(t+h)-g(t))/h

= lim_(hrarr0)(7/sqrt(t+h)-7/sqrtt)/h

= lim_(hrarr0)(7sqrtt -7sqrt(t+h))/(sqrt(t+h)sqrtt)*1/h

= lim_(hrarr0)(7(sqrtt -sqrt(t+h)))/(hsqrt(t+h)sqrtt)

Beachten Sie, dass wir, wenn wir versuchen, durch Substitution zu bewerten, die unbestimmte Form erhalten 0/0.
Die Sache, die Sie hier versuchen sollten (es wird funktionieren), ist die Rationalisierung des Zählers mit dem Konjugat von sqrtt-sqrt(t+h).

Das heißt: Wir werden multiplizieren mit 1, in der Form: (sqrtt + sqrt(t+h))/(sqrtt + sqrt(t+h))

Wir setzen fort:

g'(t) = lim_(hrarr0)(7(sqrtt -sqrt(t+h)))/(hsqrt(t+h)sqrtt) *((sqrtt + sqrt(t+h)))/((sqrtt + sqrt(t+h)))

=lim_(hrarr0) (7(t-(t+h)))/(hsqrt(t+h)sqrtt(sqrtt + sqrt(t+h))

=lim_(hrarr0) (-7cancel(h))/(cancel(h)sqrt(t+h)sqrtt(sqrtt + sqrt(t+h))

Jetzt können wir das Limit auswerten:

g'(t) = (-7)/(sqrt(t+0)sqrtt(sqrtt + sqrt(t+0))

= (-7)/(sqrttsqrtt(2sqrtt)) = (-7)/(t(2sqrtt)) = (-7)/(2tsqrtt)

Text
Es kann hilfreich sein zu beobachten, dass wir in gewissem Sinne die Subtraktion getauscht haben: sqrtt-sqrt(t+h) im Zähler für einen Zusatz: sqrtt+sqrt(t+h) im Nenner.
Die Subtraktion geht an 0Das tut der Zusatz nicht.
Dabei konnten wir den Faktor von beseitigen h sowohl vom Zähler als auch vom Nenner.