Wie finden Sie die Ableitung der Funktion anhand der Definition der Ableitung g (t) = 7 / sqrt (t) ?
Antworten:
Der Schlüsselschritt ist die Rationalisierung eines Zählers.
Erläuterung:
g(t) = 7/sqrtt
Ich gehe davon aus, dass Sie die Definition verwenden dürfen:
g'(t) = lim_(hrarr0)(g(t+h)-g(t))/h
(Es gibt andere Möglichkeiten, die Definition der Ableitung auszudrücken, aber dies ist eine sehr häufige.)
g'(t) = lim_(hrarr0)(g(t+h)-g(t))/h
= lim_(hrarr0)(7/sqrt(t+h)-7/sqrtt)/h
= lim_(hrarr0)(7sqrtt -7sqrt(t+h))/(sqrt(t+h)sqrtt)*1/h
= lim_(hrarr0)(7(sqrtt -sqrt(t+h)))/(hsqrt(t+h)sqrtt)
Beachten Sie, dass wir, wenn wir versuchen, durch Substitution zu bewerten, die unbestimmte Form erhalten 0/0.
Die Sache, die Sie hier versuchen sollten (es wird funktionieren), ist die Rationalisierung des Zählers mit dem Konjugat von sqrtt-sqrt(t+h).
Das heißt: Wir werden multiplizieren mit 1, in der Form: (sqrtt + sqrt(t+h))/(sqrtt + sqrt(t+h))
Wir setzen fort:
g'(t) = lim_(hrarr0)(7(sqrtt -sqrt(t+h)))/(hsqrt(t+h)sqrtt) *((sqrtt + sqrt(t+h)))/((sqrtt + sqrt(t+h)))
=lim_(hrarr0) (7(t-(t+h)))/(hsqrt(t+h)sqrtt(sqrtt + sqrt(t+h))
=lim_(hrarr0) (-7cancel(h))/(cancel(h)sqrt(t+h)sqrtt(sqrtt + sqrt(t+h))
Jetzt können wir das Limit auswerten:
g'(t) = (-7)/(sqrt(t+0)sqrtt(sqrtt + sqrt(t+0))
= (-7)/(sqrttsqrtt(2sqrtt)) = (-7)/(t(2sqrtt)) = (-7)/(2tsqrtt)
Text
Es kann hilfreich sein zu beobachten, dass wir in gewissem Sinne die Subtraktion getauscht haben: sqrtt-sqrt(t+h) im Zähler für einen Zusatz: sqrtt+sqrt(t+h) im Nenner.
Die Subtraktion geht an 0Das tut der Zusatz nicht.
Dabei konnten wir den Faktor von beseitigen h sowohl vom Zähler als auch vom Nenner.