Wie finden Sie das Taylor-Polynom dritten Grades für f (x) = ln x , zentriert bei a = 2?
Antworten:
ln(2)+1/2(x-2)-1/8(x-2)^2+1/24(x-2)^3.
Erläuterung:
Die allgemeine Form einer Taylor-Expansion mit dem Schwerpunkt a einer analytischen Funktion f is f(x)=sum_{n=0}^oof^((n))(a)/(n!)(x-a)^n. Hier f^((n)) ist die n-te Ableitung von f.
Das Taylor-Polynom dritten Grades ist ein Polynom, das aus den ersten vier (n von 0 zu 3) hinsichtlich der vollständigen Taylor-Erweiterung.
Daher ist dieses Polynom f(a)+f'(a)(x-a)+(f''(a))/2(x-a)^2+(f'''(a))/6(x-a)^3.
f(x)=ln(x), deshalb f'(x)=1/x, f''(x)=-1/x^2, f'''(x)=2/x^3. Das Taylor-Polynom dritten Grades ist also:
ln(a)+1/a(x-a)-1/(2a^2)(x-a)^2+1/(3a^3)(x-a)^3.
Jetzt haben wir a=2Also haben wir das Polynom:
ln(2)+1/2(x-2)-1/8(x-2)^2+1/24(x-2)^3.