Wie finden Sie das Konvergenzintervall für eine Potenzreihe?

Das Konvergenzintervall einer Potenzreihe ist die Menge aller x-Werte, für die die Potenzreihe konvergiert.

Finden wir das Konvergenzintervall von #sum_{n=0}^infty{x^n}/n#.
Nach Ratio-Test
#lim_{n to infty}|{a_{n+1}}/{a_n}|
=lim_{n to infty}|x^{n+1}/{n+1}cdotn/x^n|
=|x|lim_{n to infty}n/{n+1}#
#=|x|cdot 1=|x|<1 Rightarrow -1 < x < 1#,
was bedeutet, dass die Potenzreihe mindestens auf konvergiert #(-1,1)#.

Jetzt müssen wir die Konvergenz an den Endpunkten überprüfen: #x=-1# und #x=1#.

If #x=-1#wird die Potenzreihe zum Wechsel harmonische Reihe
#sum_{n=0}^infty(-1)^n/n#,
das ist konvergent. So, #x=1# sollten enthalten sein.

If #x=1#wird die Potenzreihe zur harmonische Reihe
#sum_{n=0}^infty1/n#,
das ist divergent. So, #x=1# sollte ausgeschlossen werden.

Daher ist das Konvergenzintervall #[-1,1)#.

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