Wie finden Sie das Konvergenzintervall für eine Potenzreihe?
Das Konvergenzintervall einer Potenzreihe ist die Menge aller x-Werte, für die die Potenzreihe konvergiert.
Finden wir das Konvergenzintervall von sum_{n=0}^infty{x^n}/n.
Nach Ratio-Test
lim_{n to infty}|{a_{n+1}}/{a_n}|
=lim_{n to infty}|x^{n+1}/{n+1}cdotn/x^n|
=|x|lim_{n to infty}n/{n+1}
=|x|cdot 1=|x|<1 Rightarrow -1 < x < 1,
was bedeutet, dass die Potenzreihe mindestens auf konvergiert (-1,1).
Jetzt müssen wir die Konvergenz an den Endpunkten überprüfen: x=-1 und x=1.
If x=-1wird die Potenzreihe zum Wechsel harmonische Reihe
sum_{n=0}^infty(-1)^n/n,
das ist konvergent. So, x=1 sollten enthalten sein.
If x=1wird die Potenzreihe zur harmonische Reihe
sum_{n=0}^infty1/n,
das ist divergent. So, x=1 sollte ausgeschlossen werden.
Daher ist das Konvergenzintervall [-1,1).