Wie finden Sie das Exponentialmodell #y = ae ^ (bx) #, das zu den beiden Punkten (0, 8), (1, 3) passt?

Es ist schön, dass wir den Punkt gegeben haben, #(0,8),# weil es uns erlaubt, den Wert von zu finden #a# bevor wir den Wert von b finden:

Ersetzen Sie den Punkt #(0,8)# in #y=ae^(bx)#:

#8=ae^(b(0))#

Jede Zahl, die mit der Potenz Null erhöht wird, ist 1:

#8 = a(1)#

#a = 8#

Verwenden Sie den Punkt, #(1,3),# um den Wert von b zu finden:

#3 = 8e^(b(1))#

#e^b= 3/8#

#b = ln(3/8)#

Die endgültige Gleichung lautet:

#y = 8e^(ln(3/8)x)#

Oft wird dasselbe Problem gefragt, wenn die x-Koordinate eines der Punkte nicht 0 ist. In diesem Fall müssen Sie den Wert von ermitteln #b# bevor Sie den Wert von finden #a#; So machst du es:

Gegeben, zwei Punkte, #(x_1,y_1)# und #(x_2,y_2)# und #y= ae^(bx)#

Schreiben Sie zwei Gleichungen, indem Sie jeden Punkt in die angegebene Gleichung einsetzen:

#y_1=ae^(bx_1)" [1]"#

#y_2=ae^(bx_2)" [2]"#

Teilen Sie Gleichung [2] durch Gleichung [1]:

#y_2/y_1=(ae^(bx_2))/(ae^(bx_1))#

Bitte beachte das #a# wird eliminiert, weil es durch Teilung aufgehoben wird:

#y_2/y_1=(cancel(a)e^(bx_2))/(cancel(a)e^(bx_1)) = (e^(bx_2))/(e^(bx_1))#

Wenn Sie zwei Zahlen mit derselben Basis teilen, entspricht dies dem Subtrahieren der Exponenten:

#y_2/y_1 = e^(bx_2-bx_1)#

Drehe die Gleichung um und verwende den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten:

#ln(e^(bx_2-bx_1))= ln(y_2/y_1)#

weil #ln# und #e# are inverses nur der Exponent bleibt links:

#bx_2-bx_1= ln(y_2/y_1)#

Ausklammern #b#:

#b(x_2-x_1)= ln(y_2/y_1)#

Teilen Sie beide Seiten durch #(x_2-x_1)#:

#b= ln(y_2/y_1)/(x_2-x_1)#

Jetzt haben Sie den Wert von #b#, können Sie den Wert entweder durch Gleichung [1] oder durch Gleichung [2] ersetzen, um den Wert von zu ermitteln #a#.

Schreibe einen Kommentar