Wie finden Sie das Exponentialmodell $y = ae ^ (bx)$ , das zu den beiden Punkten (0, 8), (1, 3) passt?

Es ist schön, dass wir den Punkt gegeben haben, $(0,8),$ weil es uns erlaubt, den Wert von zu finden $a$ bevor wir den Wert von b finden:

Ersetzen Sie den Punkt $(0,8)$ in $y=ae^(bx)$ :

$8=ae^(b(0))$

Jede Zahl, die mit der Potenz Null erhöht wird, ist 1:

$8 = a(1)$

$a = 8$

Verwenden Sie den Punkt, $(1,3),$ um den Wert von b zu finden:

$3 = 8e^(b(1))$

$e^b= 3/8$

$b = ln(3/8)$

Die endgültige Gleichung lautet:

$y = 8e^(ln(3/8)x)$

Oft wird dasselbe Problem gefragt, wenn die x-Koordinate eines der Punkte nicht 0 ist. In diesem Fall müssen Sie den Wert von ermitteln $b$ bevor Sie den Wert von finden $a$ ; So machst du es:

Gegeben, zwei Punkte, $(x_1,y_1)$ und $(x_2,y_2)$ und $y= ae^(bx)$

Schreiben Sie zwei Gleichungen, indem Sie jeden Punkt in die angegebene Gleichung einsetzen:

$y_1=ae^(bx_1)" [1]"$

$y_2=ae^(bx_2)" [2]"$

Teilen Sie Gleichung [2] durch Gleichung [1]:

$y_2/y_1=(ae^(bx_2))/(ae^(bx_1))$

Bitte beachte das $a$ wird eliminiert, weil es durch Teilung aufgehoben wird:

$y_2/y_1=(cancel(a)e^(bx_2))/(cancel(a)e^(bx_1)) = (e^(bx_2))/(e^(bx_1))$

Wenn Sie zwei Zahlen mit derselben Basis teilen, entspricht dies dem Subtrahieren der Exponenten:

$y_2/y_1 = e^(bx_2-bx_1)$

Drehe die Gleichung um und verwende den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten:

$ln(e^(bx_2-bx_1))= ln(y_2/y_1)$

weil $ln$ und $e$ are inverses nur der Exponent bleibt links:

$bx_2-bx_1= ln(y_2/y_1)$

Ausklammern $b$ :

$b(x_2-x_1)= ln(y_2/y_1)$

Teilen Sie beide Seiten durch $(x_2-x_1)$ :

$b= ln(y_2/y_1)/(x_2-x_1)$

Jetzt haben Sie den Wert von $b$ , können Sie den Wert entweder durch Gleichung [1] oder durch Gleichung [2] ersetzen, um den Wert von zu ermitteln $a$ .

Wie finden Sie das Exponentialmodell y = ae ^ (bx) y = ae ^ (bx) , das zu den beiden Punkten (0, 8), (1, 3) passt?

Wie finden Sie das Exponentialmodell $y = ae ^ (bx)$ , das zu den beiden Punkten (0, 8), (1, 3) passt?