Wie finde ich die kartesische Gleichung einer Ebene mit drei gegebenen Punkten?

Die kartesische Gleichung einer Ebene #P# is #ax + by + cz + d = 0#, Wobei #a, b, c# sind die Koordinaten des Normalenvektors #vec n = ( (a), (b), (c) ) #

Lassen #A, B and C# seien sie drei nicht-kolineare punkte, #A, B, C in P#
Beachten Sie, dass #A, B and C# Definiere zwei Vektoren #vec (AB)# und #vec (AC)# im Flugzeug enthalten #P#. Wir wissen, dass das Kreuzprodukt zweier in einer Ebene enthaltener Vektoren den Normalenvektor der Ebene definiert.

Nun können wir die Lösung anhand eines Beispiels veranschaulichen. Angenommen, die Koordinaten der drei Punkte lauten wie folgt:
#A(1,2,3), B(-2,1,0)# und #C(0,3,2)#

Aus den Koordinaten der Punkte #A, B# und #C# wir können die Vektoren finden #vec (AB)# und #vec (AC)#:

#vec (AB) = (x_b - x_a)*hat i + (y_b - y_a)*hat j + (z_b - z_a)*hat k#
#vec (AC) = (x_c - x_a)*hat i + (y_c - y_a)*hat j + (z_c - z_a)*hat k#
woher #hat i, hat j# und #hat k# sind die Einheitsvektoren auf den kartesischen Koordinatenachsen #Ox, Oy# und #Oz#.

Nach dem Einfügen der Koordinatenwerte haben wir:
#vec (AB) = (-2 - 1)*hat i + (1-2)*hat j + (0-3)*hat k#
Damit, #vec (AB) = -3 hat i - hat j -3 hat k#

#vec (AC) = (0-1)*hat i + (3-2)* hat j + (2-3)*hat k#.
Damit, #vec (AC) = -hat i + hat j - hat k#

Als nächstes finden wir den Normalenvektor aus dem Kreuzprodukt von #vec (AB)# und #vec (AC)#

#vec n = vec (AB)# x #vec (AC) = | (hat i,hat j,hat k),(-3,-1,-3),( -1,1,-1)|# #=# # 4 hat i - 4 hat k#

Daher ist die Gleichung der Ebene #4x-4z+d=0#. Um zu finden #d#können wir die Koordinaten des Punktes einstecken #A#:
#d= 4z - 4x => d = 4*3 - 4*1 = 8#

Also ist die kartesische Gleichung der Ebene #4x-4z+8=0#.

Schreibe einen Kommentar