Wie finde ich die Gleichung für eine Tangente ohne Ableitungen?

Antworten:

Sie könnten infinitesimals verwenden ...

Erläuterung:

Die Steigung der Tangente ist die momentane Steigung der Kurve. Wenn wir also den Wert des Arguments einer Funktion um einen infinitesimalen Betrag erhöhen, ergibt die resultierende Änderung des Werts der Funktion, dividiert durch den infinitesimalen Wert, die Steigung (modulo übernimmt den Standardteil, indem alle verbleibenden infinitesimalen Werte verworfen werden).

Nehmen wir zum Beispiel an, wir wollen die Tangente finden #f(x)# at #x=2#, woher:

#f(x) = x^3-3x^2+x+5#

Lassen #epsilon > 0# ein infinitesimaler Wert sein. Dann:

#(f(2+epsilon) - f(2))/epsilon#

#=(((2+epsilon)^3-3(2+epsilon)^2+(2+epsilon)+5)-((2)^3-3(2)^2+(2)+5))/epsilon#

#=(((8+12epsilon+6epsilon^2+epsilon^3)-3(4+4epsilon+epsilon^2)+(2+epsilon)+5)-(8-12+2+5))/epsilon#

#=((12epsilon+6epsilon^2+epsilon^3)-(12epsilon+3epsilon^2)+epsilon)/epsilon#

#=(epsilon+3epsilon^2+epsilon^3)/epsilon#

#=1+3epsilon+epsilon^2#

von denen der Standard (dh endliche) Teil ist #1# (wegwerfen der #3epsilon+epsilon^2#).

Die Neigung der Tangente ist also #1# und der Tangentenpunkt ist:

#(2, f(2)) = (2, 3)#

So kann die Tangentengleichung geschrieben werden:

#(y-3) = 1(x-2)#

oder einfacher:

#y = x+1#

Diagramm {(y- (x ^ 3-3x ^ 2 + x + 5)) (yx-1) = 0 [-3.355, 6.645, 1.38, 6.38]}

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