Wie finde ich die Gleichung eines Sinusgraphen?

Bevor wir zu Problemen kommen, möchte ich ein wenig Wortschatz durchgehen.

• Eine Sinusfunktion ist eine Sinus- oder Cosinusfunktion

• Die Amplitude eines Graphen ist der Abstand auf der y-Achse zwischen der Normalen und dem Maximum / Minimum. Es ist durch Parameter gegeben #a# in Funktion #y = asinb(x - c) + d or y = acosb(x - c) + d#

• Die Periode eines Graphen ist der Abstand auf der x-Achse, bevor sich die Funktion wiederholt. Für sinusförmige Funktionen wird es durch Auswertung gegeben #(2p)i/b# in #y = acosb(x - c) + d or y = asinb(x - c) + d#

• Die horizontale Verschiebung wird durch Auflösen von gegeben #x# in #x - c = 0# in #y = acosb(x - c) + d or y = asinb(x - c) + d#. Die horizontale Verschiebung bedeutet die Anzahl der Einheiten rechts oder links von der x-Achse

• Die vertikale Verschiebung ist gegeben durch #d# in #y = acosb(x - c) + d or y = asinb(x - c) + d#. Die vertikale Verschiebung ist die Verschiebung von der y-Achse nach oben oder unten.

Nachdem dies geschehen ist, können wir uns nun einige Anwendungen für diese speziellen Wörter ansehen.

Beispiel 1:

Was ist ein Kosinus Gleichung für das folgende Diagramm?

Beachten wir zunächst die Amplitude. Die normale Linie ist die Linie, die vollständig in der Mitte verläuft #x = 0#. Dies bedeutet auch, dass keine vertikale Verschiebung vorliegt, oder #d = 0# in #y = acosb(x - c) + d#.

Die Amplitude ist gegeben durch #"equation of max" - "equation of normal"#. In diesem Fall ist die Gleichung des Maximums #y = 2# während die Gleichung der Normalen ist #y = 0#. Daher ist die Amplitude #2 - 0 = 2#.

Der Graph von #y = cosx# hat ein Maximum auf der y-Achse, kein Minimum wie in unserer Grafik. Was bedeutet das? Dies bedeutet, dass eine Reflexion über der x-Achse stattgefunden hat, was Parameter bedeutet #a# ist negativ. Daher Parameter #a# is #-2#. Beachten Sie, dass die Amplitude niemals negativ sein kann und daher durch gegeben ist #|a|#.

Als nächstes bestimmen wir den Zeitraum. Schauen Sie sich die obige Definition von "Punkt" noch einmal an. Dies ist der Abstand zwischen zwei Maxima oder zwei Minima. In der obigen Grafik ist der Abstand zwischen zwei beliebigen Maxima oder Minima #pi#. Wir kennen die Zeit jetzt, alles, was bleibt, ist den Wert von zu finden #b#.

Erinnern Sie sich daran, dass die Periode einer Sinusfunktion durch gegeben ist #(2pi)/b#. Daher können wir das behaupten #(2pi)/b = pi#

Auflösen nach b:

#2pi = bpi#

#(2pi)/pi = b#

#b = 2#

Damit, #b = 2#.

Für horizontale Verschiebungen gibt es keine, da das Minimum auf der y-Achse liegt; es wurde nicht nach links oder rechts bewegt.

Zusammenfassend können wir nun feststellen, dass die Gleichung der obigen Funktion ist #y = -2cos(2x)#.

Beispiel 2:

Bestimmen Sie die Gleichung des folgenden Diagramms.

Das ist etwas komplizierter. Wir stellen zunächst fest, dass eine vertikale Verschiebung aufgetreten ist. Das Diagramm wurde nach oben verschoben #3# Einheiten relativ zu der von #y = sinx# (Die Normale hat die Gleichung # y = 3#). Wir können auch daraus schließen, dass dies eine Sinusfunktion ist, da der Graph auf die trifft #y# Achse auf der Normalen und nicht auf einem Maximum / Minimum.

In Bezug auf die Amplitude finden wir das Maximum bei #y = 5# während die normale Linie ist #y = 3#. Daher ist die Amplitude #5 - 3 = 2#.

Dieser Graph hat keine Reflexion über die x-Achse erfahren, also Parameter #a# ist in diesem Szenario positiv.

Wie für den Zeitraum ist der Abstand zwischen allen zwei Maxima und Minima #1#, so ist die Zeit #1#. Wir müssen den Wert von bestimmen #b#:

#(2pi)/b = 1#

#2pi = b#

Daher #b = 2pi#.

Schließlich müssen wir den Faktor der horizontalen Verschiebung bestimmen. Wir finden, dass es so ist #1# Einheit auf der rechten Seite. Daher lautet unsere Gleichung #y = 2sin(2pi(x - 1)) + 3#.

Hoffentlich hilft das!