Wie finde ich die Ableitung eines Bruchs?

Wenn wir einen Bruchteil bekommen, sagen wir #f(x)=(3-2x-x^2)/(x^2-1)#. Dies besteht aus zwei Brüchen - sagen wir einem #g(x)=3-2x-x^2# im Zähler und der andere #h(x)=x^2-1#im Nenner. Hier verwenden wir die unten beschriebene Quotientenregel.

Quotientenregel gibt an, ob #f(x)=(g(x))/(h(x))#

dann #(df)/(dx)=((dg)/(dx)xxh(x)-(dh)/(dx)xxg(x))/(h(x))^2#

#g(x)=3-2x-x^2# und daher #(dg)/(dx)=-2-2x# und als #h(x)=x^2-1#, Haben wir #(dh)/(dx)=2x# und daher

#(df)/(dx)=((-2-2x)xx(x^2-1)-2x xx(3-2x-x^2))/(x^2-1)^2#

= #(-2x^3-2x^2+2x+2-6x+4x^2+2x^3)/(x^2-1)^2#

= #(2x^2-4x+2)/(x^2-1)^2#

or #(2(x-1)^2)/(x^2-1)^2#

= #2/(x+1)^2#

Beachten Sie das #(3-2x-x^2)/(x^2-1)=((1-x)(3+x))/((x+1)(x-1))=(-3-x)/(x+1)# und mit Quotientenregel

#(df)/(dx)=(-(x+1)-(-3-x))/(x+1)^2=2/(x+1)^2#