Wie finde ich die Ableitung eines Bruchs?

Antworten:

Wir verwenden die unten beschriebene Quotientenregel, um algebraische Brüche oder jede andere Funktion zu unterscheiden, die als Quotient oder Bruchteil zweier Funktionen oder Ausdrücke geschrieben wird

Erläuterung:

Wenn wir einen Bruchteil bekommen, sagen wir $f(x)=(3-2x-x^2)/(x^2-1)$ . Dies besteht aus zwei Brüchen - sagen wir einem $g(x)=3-2x-x^2$ im Zähler und der andere $h(x)=x^2-1$ im Nenner. Hier verwenden wir die unten beschriebene Quotientenregel.

Quotientenregel gibt an, ob $f(x)=(g(x))/(h(x))$

dann $(df)/(dx)=((dg)/(dx)xxh(x)-(dh)/(dx)xxg(x))/(h(x))^2$

$g(x)=3-2x-x^2$ und daher $(dg)/(dx)=-2-2x$ und als $h(x)=x^2-1$ , Haben wir $(dh)/(dx)=2x$ und daher

$(df)/(dx)=((-2-2x)xx(x^2-1)-2x xx(3-2x-x^2))/(x^2-1)^2$

= $(-2x^3-2x^2+2x+2-6x+4x^2+2x^3)/(x^2-1)^2$

= $(2x^2-4x+2)/(x^2-1)^2$

or $(2(x-1)^2)/(x^2-1)^2$

= $2/(x+1)^2$

Beachten Sie das $(3-2x-x^2)/(x^2-1)=((1-x)(3+x))/((x+1)(x-1))=(-3-x)/(x+1)$ und mit Quotientenregel

$(df)/(dx)=(-(x+1)-(-3-x))/(x+1)^2=2/(x+1)^2$