Wie finde ich das Limit von # (xy) / sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) #?

Ich nehme an, dass die Grenze ist:

#lim_((x,y)rarr(0,0))(xy)/sqrt(x^2+y^2)#.

Die Antwort ist: #0#.

Diese Grenze liegt in der Form der Unentschlossenheit vor: #0/0#.

Die Grenzen einer Funktion von mehr als einer Variablen unterscheiden sich wirklich von denen einer Variablen. Die Variable #x# kann an seine Grenzen "gehen" (z. B. #a#) "nur" in zwei Richtungen (#a^+,a^-#). In mehr als einer Variablen sind die Richtungen unendlich! Wenn wir also zeigen wollen, dass es kein Limit gibt, können wir einfach zwei verschiedene Richtungen wählen, die zu unterschiedlichen Werten führen.

Die Möglichkeit, ein Limit Making zu demonstrieren und zu berechnen einziger Limit ist es, eine Berechnung für jede Richtung zu machen.
Es scheint nicht so einfach zu sein ...

aber

Wenn wir das Koordinatensystem von kartesisch nach polar ändern, haben wir zwei neue Variablen #rho,theta# und #theta# wird uns geben alle die Richtungen in einem Schuss!

Ob das Limit davon abhängt ausschließlich ab #rho# Das Limit existiert!

Jetzt machen wir die Übung.

Ich erinnere mich daran:

#x=rhocostheta#
#y=rhosintheta#

und wenn

#(x,y)rarr(0,0)#

als

#rhorarr0#.

Damit:

#lim_(rhorarr0)(rhocosthetarhosintheta)/sqrt(rho^2cos^2theta+rho^2sin^2theta)=#

#lim_(rhorarr0)(rho^2costhetasintheta)/sqrt(rho^2(cos^2theta+sin^2theta))=#

#lim_(rhorarr0)(rho^2costhetasintheta)/(rhosqrt((cos^2theta+sin^2theta)))=#

#lim_(rhorarr0)(rho^2costhetasintheta)/rho=#

#lim_(rhorarr0)rhocosthetasintheta=0#

und es ist leicht zu sagen, diese Grenze nicht hängt ab von #theta#!

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