März 5, 2020

von Loutitia

Wie drückt man $(1-i) ^ 3$ in $a + bi$ -Form aus?

Antworten:

$(1-i)^3 = -2-2i$

Erläuterung:

Methode 1 - direkte Auswertung

$(1-i)^3 = (1-i)(1-i)(1-i)$

$color(white)((i-i)^3) = (1-2i+i^2)(1-i)$

$color(white)((i-i)^3) = (-2i)(1-i)$

$color(white)((i-i)^3) = -2i+2i^2$

$color(white)((i-i)^3) = -2-2i$

$color(white)()$
Methode 2 - Binomialerweiterung, dann Vereinfachung

$(1-i)^3 = 1^3+3(1^2)(-i)+3(1)(-i)^2+(-i)^3$

$color(white)((1-i)^3) = 1-3i-3+i$

$color(white)((1-i)^3) = -2-2i$

$color(white)()$
Methode 3 - de Moivre

$(1-i)^3 = (sqrt(2)(cos(-pi/4)+i sin(-pi/4)))^3$

$color(white)((1-i)^3) = (sqrt(2))^3(cos(-(3pi)/4)+i sin(-(3pi)/4))$

$color(white)((1-i)^3) = 2sqrt(2)(-sqrt(2)/2-i sqrt(2)/2)$

$color(white)((1-i)^3) = -2-2i$